Решение: Нули в семеричной записи
Значение арифметического выражения $7^{350} + 7^{150} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2300$, записали в семеричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в семеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 200 нулей.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
5 шаговПоскольку $x \leq 2300 < 7^{150}$, вычитание $x$ происходит из слагаемого $7^{150}$. Получаем запись числа как суммы старшей единицы $7^{350}$ и числа $7^{150}-x$.
$$7^{350}+7^{150}-x = 7^{350} + (7^{150}-x)$$В разрядах от $7^{349}$ до $7^{150}$ находятся нули. Всего таких разрядов 200.
Представим младшую часть в виде $7^{150}-x=(7^{150}-1)-(x-1)$. В записи $7^{150}-1$ стоят 150 цифр 6, поэтому нули в записи $7^{150}-x$ появляются именно там, где в записи $x-1$ стоят цифры 6.
Чтобы всего было ровно 200 нулей, в записи числа $x-1$ не должно быть цифры 6. Максимальное число, не превышающее 2299, с таким свойством равно $2000$, поскольку $2000=5555_7$, а следующее большее число с цифрами без 6 — $5555_7=2343$, что превышает 2299.
Следовательно, $x-1=2000$, откуда $x=2001$.
Где здесь ошибаются
Считать только нули в промежуточной части записи и не проверять нули в числе $7^{150}-x$.
Забыть, что для получения ровно 200 нулей в записи $x-1$ не должно быть цифры 6.
Принять $2343=5555_7$ за допустимое значение $x-1$, хотя оно превышает ограничение 2299.