Нули в пятеричной записи
Значение арифметического выражения $5^{150} + 5^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в 5-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 50 нулей.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Значение арифметического выражения 5150 + 5100 – x, где x – целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в 5-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 50 нулей. В ответе запишите число в десятичной системе счисления. | |||
| |
Формат: число или слово без единиц измерения; дробную часть отделяйте запятой.
1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Представьте выражение как $5^{150} + (5^{100} - x)$ и учтите, что $x < 5^{100}$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
При вычитании $x$ из $5^{100}$ нули в разрядах от 100-го до 149-го образуют ровно 50 нулей. Поэтому среди последних 100 разрядов дополнительных нулей быть не должно.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Это означает, что в записи числа $x-1$ в пятеричной системе не должно быть цифры 4. Проверка границы: $2029_{10}=31104_5$, а $2028_{10}=31103_5$.