Виды систем счисления
Система счисления задаёт правила записи чисел с помощью определённого набора символов. Главное различие между системами — зависит ли значение цифры от её места в записи: в позиционной системе зависит, а в непозиционной — нет.
Основные понятия
Сначала полезно повторить, что система счисления — это способ записи и представления чисел. Для записи используются символы, образующие алфавит системы счисления. Например, в десятичной системе алфавит состоит из цифр от 0 до 9.
Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры определяется не только самой цифрой, но и её положением, то есть разрядом. Одна и та же цифра в разных разрядах имеет разный вес.
Непозиционная система счисления — система, в которой значение символа не зависит от его положения в записи или зависит от положения по особым правилам, но не определяется степенями единого основания. Классический пример — римская система счисления.
В записи числа каждый знак занимает определённый разряд. Вес разряда показывает, во сколько раз изменяется вклад цифры при переходе к соседнему разряду. Крайний слева значащий разряд называют старшим разрядом, а крайний справа — младшим разрядом.
Позиционные системы счисления
В позиционной системе есть основание \(n\). Оно показывает количество цифр в алфавите системы. Для основания \(n\) используются цифры от 0 до \(n-1\). Например, в двоичной системе основание равно 2, поэтому допустимы только 0 и 1; в десятичной системе основание равно 10, поэтому используются цифры от 0 до 9.
В позиционной системе значение числа получают как сумму произведений цифр на веса соответствующих разрядов. Вес разряда определяется степенью основания системы.
Здесь \(n\) — основание системы, а \(a_0\) — цифра младшего разряда. Это разложение по степеням основания. Номер разряда отсчитывают справа налево, начиная с нуля.
| Система | Основание | Допустимые цифры | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Двоичная | 2 | 0, 1 | 101101₂ |
| Восьмеричная | 8 | 0–7 | 735₈ |
| Десятичная | 10 | 0–9 | 402₁₀ |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0–9, A–F | 2A₁₆ |
| Двенадцатеричная | 12 | 0–9 и два дополнительных символа | A7₁₂ |
В любой позиционной системе соседние разряды отличаются в \(n\) раз. Например, в десятичной системе цифра 5 в разряде единиц означает 5, в разряде десятков — 50, а в разряде сотен — 500. Поэтому запись 555 содержит три одинаковых цифры, но их вклады различны.
Какая цифра недопустима в восьмеричной системе счисления?
Непозиционные системы счисления
В непозиционной системе символ обычно сохраняет одно и то же значение независимо от места. Подробнее такая запись рассматривается на странице «Непозиционная система счисления». Наиболее известный пример — римская система: \(I=1\), \(V=5\), \(X=10\), \(L=50\), \(C=100\), \(D=500\), \(M=1000\).
В простейшем случае значения символов складываются: \(VIII=5+1+1+1=8\). Однако в римской записи действует дополнительное правило: если меньший символ стоит перед большим, его значение вычитается. Поэтому \(IV=5-1=4\), а \(IX=10-1=9\).
В записи \(XIX\) символ \(X\) слева от \(I\) не образует отдельного разряда, а символы интерпретируются по правилам римской системы: \(X+(X-I)=10+9=19\). Значение определяется правилами сочетания символов, а не степенями основания.
| Признак | Позиционная система | Непозиционная система |
|---|---|---|
| Значение символа | Зависит от положения | Обычно не зависит от положения |
| Основание | Есть единое основание \(n\) | Единого основания нет |
| Вес разрядов | Связан со степенями \(n\) | Разряды в позиционном смысле отсутствуют |
| Количество цифр | Ограничено алфавитом | Может быть неудобно для больших чисел |
| Пример | Двоичная, десятичная | Римская |
Свойства и сравнение систем
Позиционные системы удобны для вычислений, потому что каждое число раскладывается по степеням основания. Арифметические действия выполняют поразрядно, используя переносы и заёмы. Именно поэтому компьютеры используют двоичную систему, а человек в повседневной жизни — десятичную систему счисления.
Системы с разными основаниями не являются «более правильными» или «менее правильными». Они по-разному кодируют одно и то же количество. Число \(10_{10}\) записывается как \(1010_2\), \(12_8\) и \(A_{16}\) — это разные записи одного значения.
В позиционной системе с основанием \(n\) используются ровно \(n\) цифр: от 0 до \(n-1\). Если в записи встречается цифра, равная основанию или больше основания, запись неверна.
Например, \(204_5\) — неверная запись, потому что цифра 5 недопустима в системе с основанием 5. Запись \(407_8\) допустима: все цифры меньше 8.
Разобранный пример: значение позиционной записи
Найдём десятичное значение двоичного числа \(110101_2\). Важно не воспринимать запись как обычное десятичное число 110101: сначала нужно учесть веса разрядов.
\(110101_2=53_{10}\). Нули ничего не добавляют к сумме, но сохраняют положение соседних цифр и поэтому важны для разрядов.
Частые ошибки
1. Считают основание допустимой цифрой: в системе с основанием 8 цифра 8 запрещена. 2. Нумеруют разряды слева направо: степени основания начинают с \(0\) справа. 3. Складывают цифры без учёта весов: \(1011_2\) — это не 3 и не 1011, а \(1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2+1\). 4. Считают римскую систему позиционной: в ней нет обычного набора разрядов со степенями основания. 5. Путают запись и значение: \(10_2=2_{10}\), а \(10_{10}=10_{10}\).
Если нужно определить вид системы, задайте три вопроса: есть ли единое основание; меняется ли значение цифры при переносе в другой разряд; можно ли представить число как сумму цифр, умноженных на степени основания. Ответ «да» на эти вопросы указывает на позиционную систему.
Проверка знаний
Быстрый тест
Главное
- Позиционная система имеет основание \(n\), а значение цифры зависит от её разряда.
- В позиционной системе число раскладывается в сумму произведений цифр на степени основания.
- В системе с основанием \(n\) допустимы цифры от 0 до \(n-1\).
- Непозиционная система не использует обычные веса разрядов, связанные со степенями единого основания.
- Для экзамена важно проверять допустимость цифр, правильно нумеровать разряды справа налево и учитывать вес каждой цифры.