Разложение по степеням основания
Любое число в позиционной системе счисления можно представить как сумму произведений его цифр на соответствующие степени основания. Такое разложение показывает, из каких разрядов состоит число, и служит основой для перевода в десятичную систему.
Основная идея разложения
Основание системы счисления обозначают буквой \(q\). В позиционной системе каждая цифра зависит не только от своего значения, но и от положения в записи. Цифра, стоящая правее, соответствует меньшей степени основания, а цифра, стоящая левее, — большей. Поэтому один и тот же символ, например \(3\), может означать \(3\) единицы, \(3q\) единиц или \(3q^2\) единиц.
Разложение по степеням основания — это представление позиционного числа в виде суммы произведений цифр на степени основания, соответствующие их разрядам.
У целой части числа младший разряд имеет нөмір \(0\). Следующий разряд имеет нөмір \(1\), затем \(2\) и так далее. Номер разряда увеличивается при движении справа налево. Значение, на которое умножается цифра разряда, называют его весом; подробнее о нём рассказано на странице «Вес разряда».
Здесь \(a_n,a_{n-1},\ldots,a_0\) — цифры числа, а индексы показывают нөмір разрядов. Цифра \(a_0\) стоит в младшем разряде, поэтому умножается на \(q^0=1\). Запись слева обозначает число в системе с основанием \(q\); чтобы не возникало сомнений, основание можно указать внизу: \((a_na_{n-1}\ldots a_0)_q\).
Алгоритм разложения целой части
Чтобы разложить число, нужно последовательно сопоставить каждой цифре степень основания. Начинают с правой цифры: ей назначают степень \(0\). Затем степени увеличивают на единицу при переходе к каждой следующей цифре слева.
- Определите основание системы \(q\) и убедитесь, что каждая цифра меньше \(q\).
- Найдите младший разряд — крайнюю правую цифру — и присвойте ему степень \(0\).
- Двигайтесь справа налево, увеличивая показатель степени: \(0,1,2,3,\ldots\).
- Умножьте каждую цифру на соответствующую степень основания.
- Сложите получившиеся произведения.
Если в целой части числа справа налево стоят цифры \(a_0,a_1,a_2,\ldots\), то цифра \(a_i\) имеет вес \(q^i\). Номер разряда определяется расстоянием от младшего разряда, а не количеством цифр слева от него.
Такое представление называют также формулой разложения числа. Степень основания в каждом разряде определяется его положением: это подробно связано с степенью основания в разряде.
| Разряд | Цифра | Степень основания | Вес разряда |
|---|---|---|---|
| младший | \(a_0\) | \(q^0\) | \(1\) |
| следующий | \(a_1\) | \(q^1\) | \(q\) |
| третий справа | \(a_2\) | \(q^2\) | \(q^2\) |
| четвёртый справа | \(a_3\) | \(q^3\) | \(q^3\) |
Разобранный пример
Разложим число \((3527)_8\) по степеням основания. Основание равно \(8\), поэтому используем степени \(8^0,8^1,8^2,8^3\). Крайняя правая цифра \(7\) имеет степень \(0\), а крайняя левая цифра \(3\) — степень \(3\).
Итак, разложение и результат можно записать вместе: \((3527)_8=3\cdot8^3+5\cdot8^2+2\cdot8+7=1879_{10}\). Если требуется только представить число как сумму произведений, вычислять итоговую сумму необязательно. Если требуется перевод в десятичную систему, сумму нужно вычислить.
Какую степень основания имеет цифра \(4\) в жазбалар \((21403)_5\)?
Дробная часть числа
Для дробной части правило продолжается влево от разделительного знака, но показатели степеней становятся отрицательными. Первая цифра после запятой умножается на \(q^{-1}\), вторая — на \(q^{-2}\) и так далее.
Например, \((10,11)_2=1\cdot2^1+0\cdot2^0+1\cdot2^{-1}+1\cdot2^{-2}\). Поэтому \((10,11)_2=2+0+\frac12+\frac14=2{,}75_{10}\). В школьных задачах чаще разлагают целые числа, но тот же принцип применим к любой позиционной записи.
Проверка жазбалар и частые ошибки
Перед вычислениями полезно записать небольшую таблицу: цифра, номер разряда, степень основания и произведение. Это особенно важно, когда число содержит нули или имеет много цифр.
1. Начинать степени слева. Для целой части степень \(0\) всегда принадлежит крайней правой цифре. 2. Пропускать нулевой разряд. В жазбалар \((407)_8\) цифра \(0\) всё равно занимает разряд \(1\): \((407)_8=4\cdot8^2+0\cdot8^1+7\cdot8^0\). 3. Использовать основание как показатель. В выражении \(5\cdot2^3\) число \(2\) — основание, а \(3\) — показатель степени. 4. Забывать основание исходной жазбалар. Одинаковая последовательность цифр в разных системах означает разные числа. 5. Разрешать недопустимые цифры. В системе с основанием \(q\) допустимы цифры от \(0\) до \(q-1\).
Посчитайте количество цифр в целой части. Для жазбалар из \(n+1\) цифр старшая степень должна быть \(q^n\). Если в разложении из төрт цифр появилась старшая степень \(q^4\), значит, нумерация начата неправильно.
После освоения разложения удобно перейти к канонической жазбалар числа, где выражение оформляют в стандартном виде. Этот навык пригодится при подборе основания системы и при решении тапсырма на неизвестное основание. Он также помогает различать старший разряд, десятичную систему и обычные разрядные единицы.
Проверь себя
Главное
- В позиционной системе цифра разряда умножается на степень основания, соответствующую нөміріне разряда.
- Для целой части нумерация начинается справа с \(0\) и увеличивается влево.
- Основная формула: \(a_na_{n-1}\ldots a_0=\sum_{i=0}^{n}a_iq^i\).
- Нули не пропускают: они занимают свои разряды, даже если их вклад в сумму равен нулю.
- Для дробной части используются отрицательные степени: первая цифра после запятой имеет множитель \(q^{-1}\).
- Перед вычислением проверьте основание, допустимость цифр и старшую степень.