Задания № 7, 8 · ЕГЭ

Позиционная система счисления

Как положение цифры определяет значение числа

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Позиционная система счисления — это система записи чисел, в которой значение цифры определяется не только самой цифрой, но и её положением в записи числа.

Система счисления, в которой одна и та же цифра имеет разные значения в зависимости от занимаемого разряда. Значение каждого разряда определяется степенью основания системы.

В позиционной записи число состоит из цифр, а каждая цифра занимает определённый разряд. Например, в числе 555 первая справа цифра означает 5 единиц, следующая — 5 десятков, а последняя — 5 сотен. Цифры одинаковы, но их значения различаются.

Количество цифр, используемых в системе, связано с её основанием. В десятичной системе основание равно 10, поэтому используются цифры от 0 до 9. В двоичной системе основание равно 2, и допустимы только цифры 0 и 1. Набор допустимых знаков изучают как цифры системы счисления.

\[a_k a_{k-1}\ldots a_1 a_0 = a_k\cdot p^k+a_{k-1}\cdot p^{k-1}+\ldots+a_1\cdot p+a_0\]1

Здесь \(p\) — основание системы, а \(a_i\) — цифра соответствующего разряда. Справа находится младший разряд с весом \(p^0=1\), левее него — разряд с весом \(p^1\), затем \(p^2\) и так далее. Такое представление называют разложением по степеням основания.

№

Пример

В десятичной системе \(472=4\cdot10^2+7\cdot10^1+2\cdot10^0=400+70+2\). Поэтому цифра 4 имеет значение 400, цифра 7 — 70, а цифра 2 — 2.

Не путайте

Позиционная система счисления — это способ записи чисел, а не отдельное число и не одна цифра. В непозиционной системе, например в записи римскими цифрами, значение знака обычно не определяется строго его местом.

Проверьте себя

Каково значение цифры 3 в числе \(530_{{10}}\)?

Главное за минуту

Главное

В позиционной системе значение цифры зависит от её разряда.
Основание системы определяет допустимые цифры и веса разрядов.
Число можно разложить в сумму произведений цифр на степени основания.