Перевод в десятичную систему
Чтобы перевести число из произвольной системы счисления в десятичную, нужно представить его как сумму разрядов, умноженных на соответствующие степени основания. Для целой части используются неотрицательные степени, а для дробной — отрицательные.
Основание и разрядная запись
Вспомним десятичную систему счисления: её основание равно 10, поэтому соседние разряды отличаются в 10 раз. Например, число \(572\) означает \(5\cdot10^2+7\cdot10^1+2\cdot10^0\). Такой способ записи называют разложением по степеням основания. Подробное представление этого приёма дано на странице разложение по степеням основания.
Система счисления с основанием \(p\) использует цифры от \(0\) до \(p-1\). Основание \(p\) показывает, во сколько раз изменяется значение разряда при переходе к соседнему разряду. Запись \(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0{}_p\) означает число, записанное в системе с основанием \(p\).
В системе с основанием \(p\) цифра \(a_0\) стоит в разряде единиц, \(a_1\) — в разряде \(p\), \(a_2\) — в разряде \(p^2\) и так далее. Справа от запятой разряды имеют веса \(p^{-1},p^{-2},p^{-3},\ldots\). Поэтому перед вычислением нужно определить основание и проверить, что все цифры допустимы.
Чтобы перевести число из системы с основанием \(p\) в десятичную, каждую цифру умножают на вес её разряда, а затем складывают полученные значения. Вес разряда равен степени основания, соответствующей его позиции.
Перевод целых чисел
Для целого числа отсчёт разрядов начинают справа: крайняя правая цифра имеет показатель 0, следующая — 1, затем 2 и так далее. После этого записывают сумму произведений цифр на степени основания. Это и есть основной алгоритм перевода в десятичную систему.
- Определите основание системы \(p\).
- Запишите разряды справа налево с показателями \(0,1,2,\ldots\).
- Умножьте каждую цифру на соответствующую степень \(p\).
- Сложите произведения и оформите ответ с указанием десятичной системы.
Переведём \(351_8\) в десятичную систему. Справа налево показатели разрядов равны \(0,1,2\): цифра 1 стоит в разряде единиц, 5 — в разряде восьмёрок, 3 — в разряде \(8^2\).
Следовательно, \(351_8=233_{10}\). Индексы у основания важны: они показывают, в какой системе записано число. Если индекс не указан, в школьных задачах обычно подразумевают десятичную систему, но при оформлении перевода лучше писать его явно.
Чему равно число \(1011_2\) в десятичной системе?
Перевод дробных чисел
В дробной части запятой соответствует граница между степенями \(p^0\) и \(p^{-1}\). Первая цифра после запятой умножается на \(p^{-1}=\frac1p\), вторая — на \(p^{-2}=\frac1{p^2}\), третья — на \(p^{-3}\) и так далее. Поэтому дробную часть нельзя переводить как целую, просто приписывая нули.
Переведём \(10,101_2\). Цифры 1 и 0 слева от запятой имеют веса \(2^1\) и \(2^0\), а цифры 1, 0, 1 справа — веса \(2^{-1}\), \(2^{-2}\) и \(2^{-3}\).
Итак, \(10,101_2=2,625_{10}\). Двоичная дробь может иметь конечную запись в двоичной системе, но бесконечную — в десятичной, и наоборот. В школьных заданиях обычно выбирают записи, дающие удобный результат.
Смешанные записи и буквенные цифры
Если число содержит целую и дробную части, их переводят одновременно по общей формуле. Сначала обычно вычисляют целую часть, затем дробную, а результаты складывают. Например, в шестнадцатеричной системе используются цифры \(0\)–\(9\) и буквы: \(A=10\), \(B=11\), \(C=12\), \(D=13\), \(E=14\), \(F=15\).
\(2A_{16}=2\cdot16^1+10\cdot16^0=32+10=42_{10}\). Буква \(A\) не является неизвестной: это обозначение цифры со значением 10. Алфавит других систем важно сверять с правилами конкретной системы.
Если основание больше 10, перед вычислением замените буквенные обозначения их числовыми значениями. Запись \(G_{16}\) недопустима, потому что в шестнадцатеричной системе максимальная цифра — \(F=15\).
Проверка и типичные ошибки
Результат можно проверить оценкой: число в системе с основанием \(p\) должно иметь примерно такое же значение, как сумма старших разрядов. Для точной проверки используют контроль результата перевода или перевод через промежуточную систему, если это удобно.
1) Начинают нумерацию разрядов слева, а не справа. Нулевая степень всегда относится к крайней правой цифре целой части. 2) Используют \(p^1\) для единиц вместо \(p^0\). 3) Для дробной части ставят положительные степени. 4) Забывают указать основание исходного числа. 5) Принимают букву \(A\) за десятичную цифру 0 или 1. 6) Не проверяют допустимость цифр: в системе с основанием 5 цифра 5 невозможна.
Разделяйте вычисления на две строки: сначала формула с разрядами, затем числовой расчёт. Так легче заметить пропущенный разряд или неверную степень.
Связь с другими задачами
Перевод в десятичную систему — базовый навык для задач на сравнение чисел, уравнения и преобразования записей. После этой страницы полезно перейти к общему конспекту по системам счисления, а затем изучить сравнение чисел в разных системах счисления и решение уравнений в системах счисления. Для обратного действия используется перевод из десятичной системы.
Быстрая проверка
Главное
- Основание \(p\) определяет веса разрядов: \(\ldots,p^2,p^1,p^0,p^{-1},p^{-2},\ldots\).
- Целое число переводят суммированием произведений цифр на неотрицательные степени основания.
- Дробную часть переводят с помощью отрицательных степеней: первая цифра после запятой имеет вес \(p^{-1}\).
- Перед вычислением проверьте основание, допустимость цифр и правильность нумерации разрядов.
- Итоговую запись оформляйте с индексом \(10\), например \(233_{10}\).