ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 1, 10 · ОГЭ

Алгоритм перевода в десятичную систему

Пошаговый перевод целых и дробных позиционных чисел из любой системы счисления в десятичную
6 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Чтобы перевести позиционное число в десятичную систему, нужно разложить его по разрядам и сложить значения всех разрядов. Для целой части степени основания начинаются с нуля справа налево, а для дробной части — с \(-1\) слева направо.

1. Что нужно знать о разрядах

В позиционной системе счисления значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её положения. Основание системы обозначают буквой \(q\). В десятичной системе \(q=10\), в двоичной \(q=2\), в восьмеричной \(q=8\), в шестнадцатеричной \(q=16\).

D
Позиционное число

Позиционное число — это запись, в которой вклад цифры определяется её разрядом и основанием системы. Цифры системы с основанием \(q\) имеют значения от \(0\) до \(q-1\).

Например, в двоичной системе допустимы только цифры 0 и 1, в восьмеричной — от 0 до 7. В шестнадцатеричной системе после цифры 9 используют буквы: \(A=10\), \(B=11\), \(C=12\), \(D=13\), \(E=14\), \(F=15\).

Перед решением полезно повторить формулу разложения числа и понятие дробного разряда. Разряды целой части нумеруются справа налево: единицы имеют номер 0, следующий разряд — номер 1 и так далее.

РазрядСтепень основанияПример в двоичной системе
Единицы\(q^0\)\(1\cdot2^0\)
Основания\(q^1\)\(0\cdot2^1\)
Третьего порядка\(q^2\)\(1\cdot2^2\)
Четвёртого порядка\(q^3\)\(1\cdot2^3\)
T
Правило разложения

Чтобы получить значение позиционного числа в десятичной системе, каждую цифру умножают на соответствующую степень основания, а затем складывают полученные произведения.

\[(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0)_q=\sum_{i=0}^{n}a_i\cdot q^i\]

2. Перевод целой части

Алгоритм перевода целого числа из системы с основанием \(q\) в десятичную состоит из нескольких шагов.

  1. Запишите число и его основание.
  2. Пронумеруйте разряды справа налево, начиная с нуля.
  3. Умножьте каждую цифру на \(q\) в степени номера её разряда.
  4. Сложите все произведения.
  5. Запишите результат с указанием десятичной системы, если это необходимо.

Важно не путать основание системы с цифрой. Например, в числе \((1011)_2\) цифры умножаются на степени двойки, а не на степени десяти.

№
Пример: перевод целого двоичного числа

Переведём \((110101)_2\) в десятичную систему. Нумеруем разряды справа налево: \(1,0,1,0,1,1\) имеют номера \(5,4,3,2,1,0\) соответственно. Затем используем степени основания \(2\).

1
Записываем разложение по разрядам.
\(\displaystyle (110101)_2=1\cdot2^5+1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0\)
2
Вычисляем степени двойки.
\(\displaystyle =1\cdot32+1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1\)
3
Складываем ненулевые слагаемые.
=32+16+4+1=53
4
Записываем ответ.
\(\displaystyle (110101)_2=(53)_{10}\)
Проверь себя

Чему равно \((10101)_2\) в десятичной системе?

Тот же способ работает для восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. В шестнадцатеричном числе сначала замените буквенные цифры их числовыми значениями.

1
Разложим восьмеричное число \((347)_8\).
\(\displaystyle (347)_8=3\cdot8^2+4\cdot8^1+7\cdot8^0\)
2
Вычислим степени основания.
\(\displaystyle =3\cdot64+4\cdot8+7\cdot1\)
3
Сложим результаты.
=192+32+7=231
4
Получим десятичную запись.
\(\displaystyle (347)_8=(231)_{10}\)

3. Перевод дробной части

У дробной части разряды нумеруются иначе: первая цифра после запятой имеет номер \(-1\), вторая — \(-2\), третья — \(-3\). Поэтому используются отрицательные степени основания: \(q^{-1}\), \(q^{-2}\), \(q^{-3}\).

\[(0,a_{-1}a_{-2}\ldots a_{-m})_q=\sum_{i=1}^{m}a_{-i}\cdot q^{-i}\]

Алгоритм такой: отсчитайте разряды дробной части от запятой вправо, умножьте цифры на соответствующие отрицательные степени основания и сложите результаты. При необходимости повторите материал на странице перевод дробной части.

№
Пример: перевод двоичной дроби

Переведём \((0,1011)_2\). После запятой стоят цифры 1, 0, 1, 1. Их разряды равны \(-1\), \(-2\), \(-3\), \(-4\).

1
Записываем разложение дроби.
\(\displaystyle (0,1011)_2=1\cdot2^{-1}+0\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}+1\cdot2^{-4}\)
2
Заменяем отрицательные степени дробями.
\(\displaystyle =1\cdot\frac{1}{2}+0\cdot\frac{1}{4}+1\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{1}{16}\)
3
Приводим к общему знаменателю.
\(\displaystyle =\frac{8}{16}+\frac{0}{16}+\frac{2}{16}+\frac{1}{16}=\frac{11}{16}\)
4
Записываем десятичную дробь.
\(\displaystyle (0,1011)_2=(0,6875)_{10}\)

Если у числа есть и целая, и дробная части, переводят их отдельно, а затем складывают. Запятая при этом остаётся границей между целой и дробной частями.

\[(a_na_{n-1}\ldots a_0,a_{-1}a_{-2}\ldots a_{-m})_q=\sum_{i=0}^{n}a_iq^i+\sum_{i=1}^{m}a_{-i}q^{-i}\]

4. Полный алгоритм и проверка

Для смешанного числа удобно составить таблицу: в первой строке указать цифры, во второй — номера разрядов, в третьей — произведения цифр на степени основания. Такой способ уменьшает риск перепутать степени.

№
Пример уровня экзамена

Переведём \((2A,4)_{16}\) в десятичную систему. В шестнадцатеричной системе \(A=10\). Целая часть использует разряды \(16^1\) и \(16^0\), а дробная — \(16^{-1}\).

1
Заменяем буквенную цифру числом и записываем разложение.
\(\displaystyle (2A,4)_{16}=2\cdot16^1+10\cdot16^0+4\cdot16^{-1}\)
2
Вычисляем степени и произведения.
\(\displaystyle =2\cdot16+10\cdot1+4\cdot\frac{1}{16}\)
3
Складываем целую часть и дробь.
\(\displaystyle =32+10+\frac{1}{4}=42,25\)
4
Записываем результат.
\(\displaystyle (2A,4)_{16}=(42,25)_{10}\)
  • Проверьте, что каждая цифра допустима для данного основания.
  • Для целой части начинайте нумерацию справа с нуля.
  • Для дробной части начинайте нумерацию после запятой с \(-1\).
  • Не забывайте заменить буквы \(A\)–\(F\) их числовыми значениями.
  • Оцените ответ: число в десятичной системе должно быть меньше соответствующей степени основания для количества разрядов.
!
Частые ошибки

Ошибка 1. Нумеровать целые разряды слева направо. Правильно: нулевой разряд находится справа. Ошибка 2. Использовать положительные степени для дроби. Первая цифра после запятой умножается на \(q^{-1}\). Ошибка 3. Считать букву \(A\) цифрой 1. В шестнадцатеричной системе \(A=10\). Ошибка 4. Забывать нулевые слагаемые или менять их разряд. Нулевое слагаемое можно не писать, но его место нужно учитывать. Ошибка 5. Выполнять перевод делением или последовательным умножением без понимания задачи: эти приёмы относятся прежде всего к переводу из десятичной системы.

Быстрая проверка

В двоичной системе целое число можно проверить сложением степеней двойки только для тех разрядов, где стоит 1. Например, \((10010)_2=2^4+2^1=18\). Если в ответе получилось число больше \(2^5-1\) для пяти двоичных разрядов, значит, допущена ошибка.

5. Что важно для экзамена

В заданиях обычно требуется сопоставить запись числа и его десятичное значение, определить значение выражения или выбрать правильный вариант. Решайте аккуратно: сначала определите основание, затем расставьте степени и только после этого считайте.

Если в условии встречаются разности номеров разрядов, пригодится страница о разности разрядов. Если нужно перевести число в обратном направлении, см. перевод целого числа делением. А комплексные упражнения разобраны на странице разбор задач на системы счисления.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка темы

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · целая часть
Чему равно \((1011)_2\)?
Главное за минуту

Главное

  • Значение позиционного числа находят разложением по степеням основания.
  • В целой части степени идут от \(0\) справа налево.
  • В дробной части степени отрицательные: \(-1\), \(-2\), \(-3\) и так далее.
  • Каждую цифру умножают на степень основания её разряда и складывают результаты.
  • В шестнадцатеричной системе заменяйте \(A\)–\(F\) значениями от 10 до 15.
  • Проверяйте основание, нумерацию разрядов и величину полученного ответа.