ЕГЭОГЭ
РУҚА
Задания № 1, 10 · ОГЭ

Алгоритм перевода из десятичной системы

Деление с остатком для целой части и умножение для дробной
6 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в систему с основанием \(q\), целую часть последовательно делят с остатком на \(q\), а дробную часть последовательно умножают на \(q\). Эти два алгоритма основаны на разложении числа по разрядам.

Что означает основание системы

Система счисления с основанием \(q\) использует цифры от \(0\) до \(q-1\). Значение цифры зависит от её разряда: справа налево разряды целой части имеют веса \(q^0,q^1,q^2\) и так далее, а после запятой — \(q^{-1},q^{-2},q^{-3}\). Например, в двоичной системе используются только цифры 0 и 1, в восьмеричной — от 0 до 7, в шестнадцатеричной — от 0 до 9 и букв A–F.

D
Основание системы счисления

Основание \(q\) — количество цифр, используемых в системе счисления. Любая цифра записи должна удовлетворять условию \(0\le a_i<q\).

\[(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0)_q=\sum_{i=0}^{n}a_iq^i\]

Подробное правило записи числа по степеням основания разобрано на странице алгоритм перевода в десятичную систему. Здесь выполняется обратное действие: из десятичной записи нужно получить цифры новой системы.

Перевод целой части делением с остатком

Для целого десятичного числа применяют деление с остатком. Число делят на основание новой системы \(q\), записывают остаток, частное снова делят на \(q\) и продолжают, пока частное не станет равно нулю.

T
Правило перевода целого числа

Остатки от последовательных делений на \(q\), прочитанные снизу вверх, образуют запись исходного числа в системе с основанием \(q\). Первый полученный остаток — младшая цифра, последний ненулевой остаток — старшая цифра.

\[N=q\cdot\left\lfloor\frac{N}{q}\right\rfloor+r,\qquad 0\le r<q\]
  1. Разделите десятичное число на \(q\).
  2. Запишите остаток справа от результата деления.
  3. Делите полученное частное на \(q\), пока частное не станет нулём.
  4. Прочитайте записанные остатки в обратном порядке — снизу вверх.
Удобная запись

Оформляйте вычисления таблицей: в одной строке — делимое, частное и остаток. Так не теряется порядок остатков. Страница чтение остатков снизу вверх помогает отдельно закрепить последний шаг алгоритма.

Переведём число \(156_{10}\) в двоичную систему. Основание новой системы равно \(2\), поэтому на каждом шаге делим на 2.

1
Делим 156 на 2; остаток является младшей двоичной цифрой.
\(\displaystyle 156=2\cdot78+0\)
2
Делим частное 78 и снова записываем остаток.
\(\displaystyle 78=2\cdot39+0\)
3
Продолжаем деление частного 39.
\(\displaystyle 39=2\cdot19+1\)
4
Делим частное 19.
\(\displaystyle 19=2\cdot9+1\)
5
Делим частное 9.
\(\displaystyle 9=2\cdot4+1\)
6
Делим частное 4.
\(\displaystyle 4=2\cdot2+0\)
7
Делим частное 2; после этого частное становится нулём.
\(\displaystyle 2=2\cdot1+0;\qquad 1=2\cdot0+1\)
\[\text{Остатки снизу вверх: }10011100_2\]
№
Проверка результата

Проверим запись \(10011100_2\): \(1\cdot2^7+0\cdot2^6+0\cdot2^5+1\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+0\cdot2^0=128+16+8+4=156\). Значит, \(156_{10}=10011100_2\).

Микро-проверка

В каком порядке нужно читать остатки при переводе целого числа из десятичной системы?

Перевод дробной части умножением

Для дробной части используют другой алгоритм: дробную часть последовательно умножают на основание \(q\). Целая часть каждого произведения становится очередной цифрой результата после запятой. Затем для следующего шага берут дробную часть произведения.

T
Правило перевода дроби

При последовательном умножении дробной части на \(q\) целые части произведений, прочитанные сверху вниз, образуют цифры дробной части в новой системе. Процесс заканчивается, если дробная часть стала нулём, или продолжается до требуемой точности.

\[x_0\cdot q=a_1+x_1,\qquad x_1\cdot q=a_2+x_2,\qquad 0\le x_i<1\]

Например, чтобы перевести \(0{,}625_{10}\) в двоичную систему, сначала умножаем \(0{,}625\) на 2. Полученная целая часть — первая цифра после запятой. Далее повторяем действие с дробной частью.

1
Первое умножение даёт первую двоичную цифру после запятой.
\(\displaystyle 0{,}625\cdot2=1{,}25\quad\Rightarrow\quad a_1=1\)
2
Берём дробную часть 0,25 и умножаем её на 2.
\(\displaystyle 0{,}25\cdot2=0{,}5\quad\Rightarrow\quad a_2=0\)
3
Берём дробную часть 0,5.
\(\displaystyle 0{,}5\cdot2=1{,}0\quad\Rightarrow\quad a_3=1\)
\[0{,}625_{10}=0{,}101_2\]

Если переводится число с целой и дробной частями, алгоритмы применяют независимо: целую часть переводят делением, дробную — умножением, а затем соединяют результаты. Например, целая часть \(156\) даёт \(10011100_2\), а дробная часть \(0{,}625\) — \(0{,}101_2\), поэтому \(156{,}625_{10}=10011100{,}101_2\).

Подробнее о переводе дробей умножением можно прочитать на странице перевод дробей умножением. При отдельном изучении дробной части полезны страницы перевод дробной части и период перевода дроби.

Точность и период дроби

Не всякая десятичная дробь имеет конечную запись в другой системе. Если при умножении дробная часть никогда не становится нулём, цифры будут повторяться или продолжаться бесконечно. В таком случае перевод выполняют до указанного числа знаков после запятой или до появления периода.

!
Частые ошибки

1. Остатки при переводе целой части читают сверху вниз. Правильно — снизу вверх. 2. При переводе дроби записывают не дробную, а целую часть каждого произведения. 3. После умножения используют новую дробную часть, а не всё произведение. 4. В системе с основанием \(q\) нельзя использовать цифру \(q\) или большую цифру. 5. Нельзя смешивать основания: запись \(1011\) без указания основания неоднозначна.

Запомнить

Целая часть — деление, остатки снизу вверх. Дробная часть — умножение, целые части сверху вниз. Основание операции равно основанию системы, в которую выполняется перевод.

Связь с другими алгоритмами

Этот материал является частью страницы перевод из десятичной системы. Перед изучением полезно повторить деление с остатком и перевод дробей умножением. Для задач, где нужно сравнивать разряды или выполнять действия над записью числа, пригодятся смещение по разрядам и разность разрядов. После освоения алгоритма переходите к разбору задач на системы счисления.

Q
Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · основание системы
Какое основание используют при переводе в восьмеричную систему?
Главное за минуту

Главное

  • Основание \(q\) определяет допустимые цифры и разрядные веса.
  • Целую часть переводят последовательным делением на \(q\) с остатком; остатки читают снизу вверх.
  • Дробную часть переводят последовательным умножением на \(q\); целые части произведений читают сверху вниз.
  • Если дробная часть не становится нулём, перевод округляют или записывают с периодом.
  • Результат всегда можно проверить обратным переводом в десятичную систему.