Смещение по разрядам
Смещение по разрядам — это изменение значения цифры при её переносе в соседний разряд. В позиционной системе счисления переход на один разряд влево увеличивает значение цифры в \(q\) раз, а переход вправо уменьшает его в \(q\) раз, где \(q\) — основание системы счисления.
Каждый разряд имеет свой вес разряда. В числе \(a_na_{n-1}\ldots a_1a_0\) цифра \(a_i\) занимает разряд с весом \(q^i\). Поэтому при переносе цифры на один разряд влево показатель степени увеличивается на 1, а при переносе вправо — уменьшается на 1.
Здесь \(W_i\) — значение цифры в исходном разряде, а \(q\) — основание системы. Например, в десятичной системе основание равно 10, в двоичной — 2. Правило связано с переходом через разряд, но смещение описывает именно изменение веса одной цифры, а не выполнение сложения или вычитания.
В числе \(354_6\) цифра \(5\) находится в разряде единиц и имеет вклад \(5\cdot6^1=30\), если считать позиции справа налево с нулевого разряда для цифры 4: точнее, цифра 5 стоит в разряде с весом \(6^1\), а её вклад равен \(5\cdot6=30\). Если перенести цифру 5 на один разряд влево, её вклад станет \(5\cdot6^2=180\), то есть увеличится в 6 раз.
Смещение по разрядам не означает, что сама цифра изменилась. Цифра 5 остаётся цифрой 5; меняется только её вес и, следовательно, вклад в значение всего числа. Также нельзя всегда умножать на 10: множитель равен основанию системы.
Во сколько раз изменится вклад цифры при переносе на два разряда влево в восьмеричной системе?
Главное
- При переносе цифры на один разряд влево её вклад умножается на основание системы \(q\).
- При переносе на один разряд вправо вклад делится на \(q\); сама цифра при этом не изменяется.
- Для смещения на \(k\) разрядов множитель равен \(q^k\) влево и \(q^{-k}\) вправо.