Формула разложения числа
Формула разложения числа показывает, как вычислить значение позиционной записи: каждую цифру умножают на вес её разряда, а затем складывают полученные произведения.
Перед применением формулы полезно повторить понятие веса разряда. В записи числа разряды слева направо имеют номера \(n, n-1, \ldots, 1, 0\). Самый правый разряд имеет вес \(q^0=1\), следующий — \(q^1=q\), затем \(q^2\) и так далее.
Здесь \(q\) — основание системы счисления, а \(a_i\) — цифра в разряде с номером \(i\). Любая цифра должна быть меньше основания: \(0\le a_i<q\). Для дробной части используются отрицательные степени основания: цифра сразу после запятой умножается на \(q^{-1}\), следующая — на \(q^{-2}\).
Разложим двоичное число \((1011)_2\). Справа налево номера разрядов равны \(0,1,2,3\): \((1011)_2=1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=8+0+2+1=11\). Значит, \((1011)_2=(11)_{10}\).
Какое разложение правильно для числа \((203)_4\)?
Формула разложения не является самим разложением по степеням основания как отдельным способом записи: она вычисляет значение уже записанного числа. Также нельзя начинать нумерацию разрядов с единицы: крайний правый разряд имеет номер 0.
Если нужно выполнить полный перевод записи в десятичную систему, формула разложения служит его основой. После записи суммы остаётся вычислить степени и сложить результаты.
Главное
- Каждая цифра умножается на вес своего разряда.
- Вес разряда с номером \(i\) равен \(q^i\), где \(q\) — основание системы.
- Нумерация целых разрядов начинается справа с нуля.