ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 10, 16 · ОГЭ

Шешім тапсырма на неизвестное основание

Как найти основание системы счисления по жазбалар чисел, цифрам и арифметическим условиям
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

В задачах на неизвестное основание нужно определить число \(p\), в котором записаны данные числа. Для этого запись переводят в десятичное выражение, учитывают допустимые цифры и составляют уравнение или систему условий.

Что означает неизвестное основание

Основание системы счисления обозначают буквой \(p\). Это количество цифр, включая цифру \(0\): используются цифры от \(0\) до \(p-1\). Например, в двоичной системе \(p=2\) допустимы только \(0\) и \(1\), а в шестнадцатеричной \(p=16\) — цифры \(0\)–\(9\) и буквы \(A\)–\(F\).

D
Основание системы счисления

Основание \(p\) — целое число, большее единицы, определяющее набор цифр и веса разрядов: \(p^0,p^1,p^2,\ldots\). Подробно о смысле основания см. в статье об основании системы счисления.

Запись числа с цифрами \(a_n a_{n-1}\ldots a_1a_0\) означает сумму произведений цифр на степени основания. Это разложение по степеням основания — главный инструмент шешімдер.

\[(a_n a_{n-1}\ldots a_1a_0)_p=a_n p^n+a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_1p+a_0\]
T
Главное правило

Если в условии дана жазба числа, каждую цифру нужно умножить на соответствующую степень \(p\), начиная справа со степени \(0\). Основание кіреді в выражение как неизвестная переменная.

Ограничения на основание и цифры

Сначала определяют нижнюю границу основания. Если в жазбалар встречается цифра \(d\), то обязательно \(p>d\). Например, число \(4301_p\) требует \(p\ge 5\), потому что цифра \(4\) должна существовать. Это связано с ограничениями на цифры.

\[p\ge 1+\max\{\text{цифры, встречающиеся в жазбалар}\}\]

Дополнительно основание должно быть целым: \(p\in\mathbb{Z}\), \(p>1\). После решения уравнения отбрасывают отрицательные, дробные и слишком маленькие значения. Если в условии сравниваются числа, полезно помнить правила из сравнения целых чисел в системе счисления.

  • Іздеу наибольшую цифру в каждой жазбалар.
  • Записать условие \(p\) больше этой цифры.
  • Тексеру, что найденное основание — целое число.
  • После нахождения основания проверить исходное условие полностью.
!
Частая ошибка

Нельзя считать, что основание равно наибольшей цифре. Если максимальная цифра равна \(7\), минимальное возможное основание — \(8\), а не \(7\).

Как составлять уравнение

Алгоритм зависит от условия задачи, но преобразование записи всегда выполняется одинаково. Записи чисел раскрывают по степеням основания, затем используют данное равенство, сумму, разность или произведение.

  1. Обозначить неизвестное основание буквой \(p\).
  2. Тексеру допустимость цифр и получить нижнюю границу для \(p\).
  3. Разложить каждую жазба по степеням основания.
  4. Составить уравнение или неравенство.
  5. Решить его и выбрать допустимое целое основание.
  6. Подставить результат обратно и выполнить проверку жазбалар.

Например, условие \((23)_p=17_{10}\) превращается в \(2p+3=17\). Если в условии указано \((14)_p+(25)_p=(40)_p\), получаем \((p+4)+(2p+5)=4p\), то есть уравнение относительно \(p\).

\[(ab)_p=ap+b;\qquad (abc)_p=ap^2+bp+c\]
Проверь себя

Какое выражение соответствует жазбалар \((304)_p\)?

Разобранный пример: арифметическое условие

№
Пример

Найдём основание \(p\), если \((31)_p\cdot(12)_p=(432)_p\).

1
Основание должно быть больше цифры 4, поэтому \(p\ge 5\). Раскроем жазбалар чисел.
\(\displaystyle (31)_p=p+3,\qquad (12)_p=p+2,\qquad (432)_p=4p^2+3p+2\)
2
Подставим разложения в условие умножения.
\(\displaystyle (p+3)(p+2)=4p^2+3p+2\)
3
Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть.
\(\displaystyle p^2+5p+6=4p^2+3p+2\)
4
Получим квадратное уравнение.
\(\displaystyle 3p^2-2p-4=0\)
5
Найдём корни по формуле квадратного уравнения.
\(\displaystyle p=\frac{2\pm\sqrt{4+48}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}\)
6
Корни не являются целыми числами, поэтому такого основания нет. Следовательно, данное условие несовместимо с позиционной системой счисления.
\(\displaystyle p\notin\mathbb{Z}\)

Этот пример показывает важную проверку: не всякое арифметическое условие имеет допустимое основание. В экзаменационной задаче обычно существует единственный подходящий целый корень, но его всё равно нужно проверить.

Линейные и квадратные уравнения

Если используются только двузначные записи и сложение или вычитание, часто получается линейное уравнение. При умножении записей или работе с трёхзначными числами появляется квадратное уравнение. Иногда удобнее не раскрывать всё сразу, а сгруппировать выражение по степеням \(p\).

\[A p^2+Bp+C=0\]

Для квадратного уравнения находят дискриминант \(D=B^2-4AC\), затем проверяют корни. Подходит только корень, который является целым и удовлетворяет ограничениям на цифры. При сравнении записи с десятичным числом следует помнить, что десятичная запись — это обычное значение, а не запись в неизвестной системе.

Удобный приём

Если после раскрытия скобок получается многочлен, сначала соберите отдельно коэффициенты при \(p^2\), \(p\) и свободный член. Так легче заметить ошибку в разрядах и привести уравнение к стандартному виду.

Тапсырмалар по нескольким условиям

Иногда основание ищут не по равенству значений, а по условию о цифрах: например, число делится на \(p\), имеет заданный остаток или после переноса цифр изменяется определённым образом. В каждом случае запись сначала переводят в выражение через \(p\). При делении с остатком используют обычное равенство: делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток.

Если требуется найти неизвестную цифру и основание одновременно, появляются две переменные. Тогда составляют систему уравнений и добавляют ограничения: цифра целая, \(0\le d<p\), а первая цифра числа не равна нулю. Такой подход связан с решением уравнений в системах счисления.

Условие в жазбаларПреобразование
\((a0)_p\)\(ap\)
\((0a)_p\)Запись некорректна как жазба двузначного числа
\((ab)_p\) делится на \(p\)\(ap+b\) делится на \(p\); остаток определяется цифрой \(b\)
\((a+b)_p\)\(ap+b\)
!
Частые ошибки

1. Қате считают степени: крайняя правая цифра умножается на \(p^0=1\). 2. Забывают проверить цифры после нахождения основания. 3. При жазбалар \(0a_p\) считают её двузначным числом, хотя ведущий ноль обычно не учитывается. 4. Оставляют дробный корень, хотя основание должно быть целым. 5. Подставляют десятичное значение цифры без раскрытия всей позиционной записи.

Проверка результата

Проверку выполняют двумя способами. Сначала убеждаются, что все цифры допустимы: каждая меньше \(p\). Затем подставляют найденное основание в исходное арифметическое условие и считают обе части. Полезно также выполнить проверку жазбалар числа, особенно если Шешім содержит переносы или несколько неизвестных.

  • Тексеру диапазон основания: \(p>1\) и \(p>\max\) цифр.
  • Тексеру каждую жазба по разрядной формуле.
  • Тексеру исходное равенство, делимость или остаток.
  • Если шешімдер несколько, выяснить, какие удовлетворяют всем ограничениям.
Запомнить

Запись числа — это не строка символов, а многочлен по основанию: цифры становятся коэффициентами, а разряды — степенями \(p\).

Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · ограничения на цифры
Какое минимальное основание допускает жазба \(507_p\)?
Главное за минуту

Главное

  • Обозначайте неизвестное основание буквой \(p\) и учитывайте, что \(p\) — целое число больше 1.
  • Раскрывайте жазба справа налево: цифры умножаются на \(p^0,p^1,p^2,\ldots\).
  • До шешімдер уравнения найдите минимальное допустимое основание по наибольшей цифре.
  • После шешімдер обязательно проверьте целочисленность, допустимость цифр и исходное условие.
  • При сложных задачах используйте систему уравнений и ограничения на цифры и ведущие разряды.