ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 10, 16 · ОГЭ

Решение задач на неизвестное основание

Как найти основание системы счисления по записи чисел, цифрам и арифметическим условиям
6 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

В задачах на неизвестное основание нужно определить число \(p\), в котором записаны данные числа. Для этого запись переводят в десятичное выражение, учитывают допустимые цифры и составляют уравнение или систему условий.

Что означает неизвестное основание

Основание системы счисления обозначают буквой \(p\). Это количество цифр, включая цифру \(0\): используются цифры от \(0\) до \(p-1\). Например, в двоичной системе \(p=2\) допустимы только \(0\) и \(1\), а в шестнадцатеричной \(p=16\) — цифры \(0\)–\(9\) и буквы \(A\)–\(F\).

D
Основание системы счисления

Основание \(p\) — целое число, большее единицы, определяющее набор цифр и веса разрядов: \(p^0,p^1,p^2,\ldots\). Подробно о смысле основания см. в статье об основании системы счисления.

Запись числа с цифрами \(a_n a_{n-1}\ldots a_1a_0\) означает сумму произведений цифр на степени основания. Это разложение по степеням основания — главный инструмент решения.

\[(a_n a_{n-1}\ldots a_1a_0)_p=a_n p^n+a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_1p+a_0\]
T
Главное правило

Если в условии дана запись числа, каждую цифру нужно умножить на соответствующую степень \(p\), начиная справа со степени \(0\). Основание входит в выражение как неизвестная переменная.

Ограничения на основание и цифры

Сначала определяют нижнюю границу основания. Если в записи встречается цифра \(d\), то обязательно \(p>d\). Например, число \(4301_p\) требует \(p\ge 5\), потому что цифра \(4\) должна существовать. Это связано с ограничениями на цифры.

\[p\ge 1+\max\{\text{цифры, встречающиеся в записи}\}\]

Дополнительно основание должно быть целым: \(p\in\mathbb{Z}\), \(p>1\). После решения уравнения отбрасывают отрицательные, дробные и слишком маленькие значения. Если в условии сравниваются числа, полезно помнить правила из сравнения целых чисел в системе счисления.

  • Найти наибольшую цифру в каждой записи.
  • Записать условие \(p\) больше этой цифры.
  • Проверить, что найденное основание — целое число.
  • После нахождения основания проверить исходное условие полностью.
!
Частая ошибка

Нельзя считать, что основание равно наибольшей цифре. Если максимальная цифра равна \(7\), минимальное возможное основание — \(8\), а не \(7\).

Как составлять уравнение

Алгоритм зависит от условия задачи, но преобразование записи всегда выполняется одинаково. Записи чисел раскрывают по степеням основания, затем используют данное равенство, сумму, разность или произведение.

  1. Обозначить неизвестное основание буквой \(p\).
  2. Проверить допустимость цифр и получить нижнюю границу для \(p\).
  3. Разложить каждую запись по степеням основания.
  4. Составить уравнение или неравенство.
  5. Решить его и выбрать допустимое целое основание.
  6. Подставить результат обратно и выполнить проверку записи.

Например, условие \((23)_p=17_{10}\) превращается в \(2p+3=17\). Если в условии указано \((14)_p+(25)_p=(40)_p\), получаем \((p+4)+(2p+5)=4p\), то есть уравнение относительно \(p\).

\[(ab)_p=ap+b;\qquad (abc)_p=ap^2+bp+c\]
Проверь себя

Какое выражение соответствует записи \((304)_p\)?

Разобранный пример: арифметическое условие

№
Пример

Найдём основание \(p\), если \((31)_p\cdot(12)_p=(432)_p\).

1
Основание должно быть больше цифры 4, поэтому \(p\ge 5\). Раскроем записи чисел.
\(\displaystyle (31)_p=p+3,\qquad (12)_p=p+2,\qquad (432)_p=4p^2+3p+2\)
2
Подставим разложения в условие умножения.
\(\displaystyle (p+3)(p+2)=4p^2+3p+2\)
3
Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть.
\(\displaystyle p^2+5p+6=4p^2+3p+2\)
4
Получим квадратное уравнение.
\(\displaystyle 3p^2-2p-4=0\)
5
Найдём корни по формуле квадратного уравнения.
\(\displaystyle p=\frac{2\pm\sqrt{4+48}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}\)
6
Корни не являются целыми числами, поэтому такого основания нет. Следовательно, данное условие несовместимо с позиционной системой счисления.
\(\displaystyle p\notin\mathbb{Z}\)

Этот пример показывает важную проверку: не всякое арифметическое условие имеет допустимое основание. В экзаменационной задаче обычно существует единственный подходящий целый корень, но его всё равно нужно проверить.

Линейные и квадратные уравнения

Если используются только двузначные записи и сложение или вычитание, часто получается линейное уравнение. При умножении записей или работе с трёхзначными числами появляется квадратное уравнение. Иногда удобнее не раскрывать всё сразу, а сгруппировать выражение по степеням \(p\).

\[A p^2+Bp+C=0\]

Для квадратного уравнения находят дискриминант \(D=B^2-4AC\), затем проверяют корни. Подходит только корень, который является целым и удовлетворяет ограничениям на цифры. При сравнении записи с десятичным числом следует помнить, что десятичная запись — это обычное значение, а не запись в неизвестной системе.

Удобный приём

Если после раскрытия скобок получается многочлен, сначала соберите отдельно коэффициенты при \(p^2\), \(p\) и свободный член. Так легче заметить ошибку в разрядах и привести уравнение к стандартному виду.

Задачи по нескольким условиям

Иногда основание ищут не по равенству значений, а по условию о цифрах: например, число делится на \(p\), имеет заданный остаток или после переноса цифр изменяется определённым образом. В каждом случае запись сначала переводят в выражение через \(p\). При делении с остатком используют обычное равенство: делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток.

Если требуется найти неизвестную цифру и основание одновременно, появляются две переменные. Тогда составляют систему уравнений и добавляют ограничения: цифра целая, \(0\le d<p\), а первая цифра числа не равна нулю. Такой подход связан с решением уравнений в системах счисления.

Условие в записиПреобразование
\((a0)_p\)\(ap\)
\((0a)_p\)Запись некорректна как запись двузначного числа
\((ab)_p\) делится на \(p\)\(ap+b\) делится на \(p\); остаток определяется цифрой \(b\)
\((a+b)_p\)\(ap+b\)
!
Частые ошибки

1. Неверно считают степени: крайняя правая цифра умножается на \(p^0=1\). 2. Забывают проверить цифры после нахождения основания. 3. При записи \(0a_p\) считают её двузначным числом, хотя ведущий ноль обычно не учитывается. 4. Оставляют дробный корень, хотя основание должно быть целым. 5. Подставляют десятичное значение цифры без раскрытия всей позиционной записи.

Проверка результата

Проверку выполняют двумя способами. Сначала убеждаются, что все цифры допустимы: каждая меньше \(p\). Затем подставляют найденное основание в исходное арифметическое условие и считают обе части. Полезно также выполнить проверку записи числа, особенно если решение содержит переносы или несколько неизвестных.

  • Проверить диапазон основания: \(p>1\) и \(p>\max\) цифр.
  • Проверить каждую запись по разрядной формуле.
  • Проверить исходное равенство, делимость или остаток.
  • Если решений несколько, выяснить, какие удовлетворяют всем ограничениям.
Запомнить

Запись числа — это не строка символов, а многочлен по основанию: цифры становятся коэффициентами, а разряды — степенями \(p\).

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · ограничения на цифры
Какое минимальное основание допускает запись \(507_p\)?
Главное за минуту

Главное

  • Обозначайте неизвестное основание буквой \(p\) и учитывайте, что \(p\) — целое число больше 1.
  • Раскрывайте запись справа налево: цифры умножаются на \(p^0,p^1,p^2,\ldots\).
  • До решения уравнения найдите минимальное допустимое основание по наибольшей цифре.
  • После решения обязательно проверьте целочисленность, допустимость цифр и исходное условие.
  • При сложных задачах используйте систему уравнений и ограничения на цифры и ведущие разряды.