Системы счисления: основные понятия
Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённого набора цифр и правил их расположения. Чтобы уверенно решать задания ЕГЭ-1 и ОГЭ-1, нужно различать цифру и число, знать основание системы и понимать значение каждого разряда.
Основные понятия
Система счисления задаёт правила, по которым число записывается и читается. В записи числа используются цифры, а их значение зависит не только от самой цифры, но и от её положения.
Система счисления — это совокупность правил записи чисел с помощью цифр. В позиционных системах значение цифры определяется её местом в записи.
Основание \(q\) — количество цифр, используемых в системе счисления. Основание всегда является целым числом, большим 1. В системе с основанием \(q\) допустимы цифры от \(0\) до \(q-1\).
| Система | Основание | Допустимые цифры |
|---|---|---|
| Десятичная | 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Двоичная | 2 | 0, 1 |
| Восьмеричная | 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
| Шестнадцатеричная | 16 | 0–9, A, B, C, D, E, F |
В шестнадцатеричной системе латинские буквы обозначают цифры: \(A=10\), \(B=11\), \(C=12\), \(D=13\), \(E=14\), \(F=15\). Например, запись \(2A_{16}\) допустима, а запись \(2G_{16}\) недопустима: цифры G в этой системе нет.
Позиционные системы и разряды
В позиционной системе одна и та же цифра может иметь разные значения в зависимости от положения. Положение цифры называют разрядом. Крайняя правая цифра целой части числа находится в нулевом разряде, следующая — в первом, затем во втором и так далее.
Разряд — позиция цифры в записи числа. В целой части разряды нумеруются справа налево, начиная с нуля. В дробной части разряды нумеруются справа налево от запятой отрицательными числами: \(-1\), \(-2\) и так далее.
Например, в числе \(583_{10}\) цифра 3 находится в нулевом разряде, 8 — в первом, 5 — во втором. Поэтому цифры имеют значения 3, \(8\cdot10\) и \(5\cdot10^2\) соответственно.
Значение числа в позиционной системе равно сумме произведений цифр на соответствующие степени основания. Цифра \(a_i\) в разряде \(i\) имеет значение \(a_i\cdot q^i\).
Подробную разрядную запись числа удобно составлять как сумму разрядных слагаемых. При этом степень основания в разряде совпадает с номером разряда.
Какое значение имеет цифра 7 в записи \(4725_8\)?
Как раскрывать запись числа
Для раскрытия записи сначала определяют основание, затем нумеруют разряды справа налево и заменяют каждую цифру произведением на степень основания. В записи основания часто указывают нижним индексом: \(1011_2\), \(347_8\), \(2A_{16}\). Если основание не указано, обычно подразумевается десятичная система, но в экзаменационной задаче основание может быть задано условием.
Число \(231_4\) в десятичной системе равно \(45_{10}\). Старшая цифра имеет вес \(4^2\), средняя — \(4^1\), младшая — \(4^0\). Поэтому нельзя просто считать, что запись 231 означает двести тридцать один.
Для дробной части используются отрицательные степени основания. Например, \(0,12_5=1\cdot5^{-1}+2\cdot5^{-2}=\frac15+\frac{2}{25}=\frac7{25}\). Ноль перед запятой показывает отсутствие единиц в целой части.
Проверка записи числа
Запись числа в системе с основанием \(q\) корректна, если каждая её цифра принадлежит набору от 0 до \(q-1\). Это первое, что нужно проверять в заданиях. Проверка записи числа особенно важна, когда основание неизвестно и его требуется найти.
Если запись содержит цифру \(d\), то основание должно удовлетворять условию \(q>d\). Например, наличие цифры 7 означает, что \(q\ge8\), а цифра A в шестнадцатеричной системе имеет значение 10.
Если требуется определить минимальное основание записи \(3142_q\), достаточно найти максимальную цифру 4 и прибавить единицу: \(q_{min}=5\). Это не означает, что основание обязательно равно 5: подходят все целые основания \(q\ge5\).
1. Принимают цифру за её разрядное значение: в \(572_8\) цифра 7 имеет значение \(7\cdot8\), а не 7. 2. Используют цифру, недопустимую в данной системе: в двоичной записи нельзя писать 2. 3. Неверно нумеруют разряды: крайний правый разряд имеет степень \(0\), а не \(1\). 4. Забывают указать основание результата. 5. Считают запись \(231_4\) обычным десятичным числом.
- Определите основание системы счисления.
- Проверьте, что все цифры допустимы.
- Пронумеруйте разряды справа налево, начиная с нуля.
- Умножьте каждую цифру на степень основания.
- Сложите полученные значения и укажите основание результата.
Что важно различать
Цифра в системе счисления — это знак, а число — результат их комбинации. Например, 5 — цифра, а 502 — число. Значение цифры в конкретной позиции рассматривается на странице «Значение цифры в разряде».
Для сравнения чисел сначала проверяют количество разрядов: в одной системе число с большим количеством цифр обычно больше. Если количество разрядов одинаково, сравнивают цифры слева направо. Подробное сравнение чисел в одной системе использует именно это правило.
Если в условии встречается неизвестное основание, сначала выпишите ограничения на него по цифрам. Затем раскройте записи через степени основания и только после этого составляйте уравнение или сравнивайте значения.
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- Основание \(q\) показывает количество цифр в системе; допустимые цифры имеют значения от 0 до \(q-1\).
- В позиционной системе значение цифры определяется её разрядом.
- Разряды целой части нумеруются справа налево, начиная с нуля.
- Разрядная запись имеет вид суммы \(a_i\cdot q^i\).
- Перед решением проверьте допустимость цифр, нумерацию разрядов и основание результата.