Решение: Нули в троичной записи
Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в троичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно пять нулей. В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
4 шагаПоскольку $x\leq 2030<3^7$, при вычитании $x$ из $3^{100}$ старшие разряды результата становятся равными 2. Поэтому количество нулей определяется семью младшими разрядами.
$$3^{100}-x=\underbrace{222\ldots222}_{93\ \text{цифры}}(3^7-x)_3$$Обозначим $y=3^7-x=2187-x$. Для максимального $x$ нужно найти наименьшее подходящее значение $y$ при условии $x\leq2030$, то есть $y\geq157$.
При $y=163$ получаем $x=2187-163=2024$. Число $163$ в троичной системе имеет вид $20001_3$, а в семиразрядной записи — $0020001_3$, где ровно пять нулей.
Проверка меньших значений $y$ от 157 до 162 показывает, что ни одно из них не имеет ровно пяти нулей в семиразрядной троичной записи. Следовательно, найденное значение $x$ максимально.
Где здесь ошибаются
Считать только нули в записи $3^7-x$, не учитывая ведущие нули семиразрядного блока.
Забыть, что при вычитании из $3^{100}$ старшие разряды результата становятся равными 2.
Перевести число 163 в троичную систему с ошибкой.