Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по информатике: «Системы счисления» — с ответами

Подсчёт цифр в троичной записи

Значение арифметического выражения $2 \cdot 243^{16} - 81^{17} + 27^{18} - 21$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?

1. 1
   Представим основания степеней как степени тройки:$$243=3^5,\quad 81=3^4,\quad 27=3^3$$
2. 2
   Преобразуем выражение:$$2\cdot243^{16}-81^{17}+27^{18}-21=2\cdot3^{80}-3^{68}+3^{54}-21$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Система счисления и делимость

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22. $81x9985_{22} + 36x51_{22} + 72x5_{22}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита…

1. 1
   Переведём каждое слагаемое из 22-ричной системы счисления в десятичную, сохраняя неизвестную цифру $x$:$$81x9985_{22}=8\cdot22^6+1\cdot22^5+x\cdot22^4+9\cdot22^3+9\cdot22^2+8\cdot22+5$$
2. 2
   После раскрытия всех разрядов получаем линейное выражение:$$81x9985_{22}+36x51_{22}+72x5_{22}=913135509+234762x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество цифр 2 в записи

Значение арифметического выражения $9^{28} \times 3^{10} - 3^8 - 81$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

1. 1
   Преобразуем выражение к степеням числа 3:$$9^{28} \times 3^{10} - 3^8 - 81 = 3^{56} \times 3^{10} - 3^8 - 3^4 = 3^{66} - 3^8 - 3^4$$
2. 2
   В троичной записи числа $3^{66} - 3^8 - 3^4$ после заимствований цифры 2 находятся в разрядах с номерами $4,5,6,7$ и $9,10,\ldots,65$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сложение чисел в системах счисления

Вычислите сумму чисел $x$ и $y$, при $x = \mathrm{B4}_{16}$, $y = 46_8$. Результат представьте в двоичной системе счисления.

1. 1
   Переведём число $\mathrm{B4}_{16}$ из шестнадцатеричной системы в десятичную. Цифра $\mathrm{B}$ соответствует числу 11.$$\mathrm{B4}_{16} = 11 \cdot 16 + 4 = 180_{10}$$
2. 2
   Переведём число $46_8$ из восьмеричной системы в десятичную.$$46_8 = 4 \cdot 8 + 6 = 38_{10}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Системы счисления и делимость

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19. $98897x21_{19}+2x923_{19}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы…

1. 1
   При делении на 18 основание 19 можно заменить на 1, поскольку $19 \equiv 1 \pmod{18}$. Поэтому остаток выражения определяется суммой всех его цифр.$$9+8+8+9+7+x+2+1+2+x+9+2+3=60+2x$$
2. 2
   Требуем делимость на 18: $60+2x \equiv 0 \pmod{18}$. Из допустимых цифр 19-ричной системы наибольшее подходящее значение — $x=15$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество цифр 5 в записи

Значение арифметического выражения $5 \cdot 216^9 - 36^{10} + 4 \cdot 6^{11} - 8$ записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр 5 содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем числа $216$ и $36$ в виде степеней основания 6:$$216 = 6^3,\quad 36 = 6^2$$
2. 2
   Преобразуем выражение:$$5 \cdot 216^9 - 36^{10} + 4 \cdot 6^{11} - 8 = 5 \cdot 6^{27} - 6^{20} + 4 \cdot 6^{11} - 8$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Цифры в троичной записи

Значение арифметического выражения $9^{30} + 3^{90} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем выражение в степенях числа $3$:$$9^{30} + 3^{90} - 9 = 3^{60} + 3^{90} - 3^2$$
2. 2
   В троичной записи числа $3^{90} + 3^{60}$ стоят единицы в разрядах $90$ и $60$, а остальные разряды равны нулю.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество цифр 6 в записи

Значение арифметического выражения $49^8 + 7^{24} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

1. 1
   Представим число 49 как степень основания 7:$$49 = 7^2$$
2. 2
   Преобразуем выражение:$$49^8 + 7^{24} - 49 = (7^2)^8 + 7^{24} - 7^2 = 7^{16} + 7^{24} - 7^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт цифр в системе счисления

Значение арифметического выражения $49^6 + 7^{18} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

1. 1
   Преобразуем выражение, представив числа как степени основания 7.$$49^6 + 7^{18} - 49 = 7^{12} + 7^{18} - 7^2$$
2. 2
   В записи числа $7^{18} + 7^{12}$ в системе счисления с основанием 7 единицы стоят в разрядах $18$ и $12$. Вычитание $7^2$ вызывает заимствование из разряда $12$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Делимость числа в системе 29

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 29. $923x874_{29} + 524x6152_{29}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 29-ричной…

1. 1
   Так как $29 \equiv 1 \pmod{28}$, остаток числа, записанного в 29-ричной системе, равен остатку суммы его цифр.
2. 2
   Сумма цифр всех слагаемых выражения равна $58+2x$.$$58+2x \equiv 0 \pmod{28}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Основание системы счисления

В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.

1. 1
   Запишем число $101$ в развёрнутом виде в системе счисления с основанием $p$.$$101_p = 1 \cdot p^2 + 0 \cdot p + 1 = p^2 + 1$$
2. 2
   Приравняем полученное выражение к числу 17 и найдём основание.$$p^2 + 1 = 17 \Rightarrow p^2 = 16 \Rightarrow p = 4$$

Количество цифр в восьмеричной записи

Значение арифметического выражения записали в системе счисления с основанием 8. Определите количество цифр 7 в записи этого числа.

1. 1
   Для решения нужно знать само арифметическое выражение, значение которого требуется записать в восьмеричной системе счисления.
2. 2
   В предоставленном тексте и на изображении выражение отсутствует, поэтому перевести число в восьмеричную систему и подсчитать цифры 7 невозможно.

Подсчёт единиц в двоичной записи

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения $4^{16} + 2^{36} - 8$?

1. 1
   Преобразуем степень числа 4 в степень двойки:$$4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$$
2. 2
   Исходное выражение принимает вид:$$2^{32} + 2^{36} - 2^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сложение чисел в системах счисления

Вычислите сумму чисел $x$ и $y$, если $x = \mathrm{A7}_{16}$, $y = 56_8$. Результат представьте в двоичной системе счисления.

1. 1
   Переведём число $x$ из шестнадцатеричной системы в десятичную. Цифра $\mathrm{A}$ соответствует числу 10.$$x = 10 \cdot 16 + 7 = 167$$
2. 2
   Переведём число $y$ из восьмеричной системы в десятичную.$$y = 5 \cdot 8 + 6 = 46$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество цифр 3

Значение арифметического выражения $16^{11} \times 4^{20} - 4^5 - 16$ записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем выражение как степень числа 4:$$16^{11} \times 4^{20} - 4^5 - 16 = 4^{22} \times 4^{20} - 4^5 - 4^2 = 4^{42} - 4^5 - 4^2$$
2. 2
   В четверичной записи числа $4^{42}$ стоит единица в разряде $42$ и нули в остальных разрядах. Вычитание $4^5$ даёт цифры 3 в разрядах от 6 до 41 включительно: всего $41 - 6 + 1 = 36$ цифр.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество цифр в троичной записи

Значение арифметического выражения $9^{19} + 3^{57} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

1. 1
   Перепишем выражение через степени числа $3$:$$9^{19}+3^{57}-9=3^{38}+3^{57}-3^2$$
2. 2
   Вынесем $3^2$ за скобки:$$3^{38}+3^{57}-3^2=3^2(3^{36}+3^{55}-1)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Нули в записи числа

Значение арифметического выражения $9 \cdot 11^{350} + 8 \cdot 11^{150} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $3000$, записали в $11$-ричной системе счисления. Определите…

1. 1
   Без вычитания $x$ число имеет в $11$-ричной системе цифры $9$ в разряде $350$, $8$ в разряде $150$ и нули в остальных разрядах.
2. 2
   При вычитании положительного $x$ происходит заимствование из разряда $150$. Поэтому разряды с $151$ по $349$ дают $199$ нулей, а в младших $150$ разрядах количество нулей совпадает с количеством цифр $10$ в записи числа $x-1$ в системе…

Ещё 3 шага — в полном решении

Подсчёт цифр в пятеричной записи

Значение арифметического выражения $4 \cdot 125^{32} - 3 \cdot 25^{25} + 4 \cdot 5^{13} - 14$ записали в системе счисления с основанием $5$. Сколько цифр $4$ содержится в этой записи?

1. 1
   Переведём основания степеней к основанию $5$:$$125^{32}=(5^3)^{32}=5^{96},\quad 25^{25}=(5^2)^{25}=5^{50}$$
2. 2
   Выражение принимает вид:$$N=4\cdot5^{96}-3\cdot5^{50}+4\cdot5^{13}-14$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт нулей в восьмеричной записи

Значение арифметического выражения $7 \cdot 512^{120} - 6 \cdot 64^{100} + 8^{210} - 255$ записали в системе счисления с основанием $8$. Сколько цифр $0$ содержится в этой записи?

1. 1
   Выразим числа $512$ и $64$ через степени основания $8$.$$512=8^3,\quad 64=8^2$$
2. 2
   Преобразуем первые два слагаемых.$$7\cdot512^{120}=7\cdot8^{360},\quad 6\cdot64^{100}=6\cdot8^{200}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт цифр в системе счисления

Значение арифметического выражения $5 \cdot 216^{20} - 4 \cdot 36^{10} + 6^{25} - 43$ записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр 5 содержится в этой записи?

1. 1
   Заменим числа $216$ и $36$ степенями основания $6$.$$216^{20}=(6^3)^{20}=6^{60},\quad 36^{10}=(6^2)^{10}=6^{20}$$
2. 2
   Преобразуем выражение.$$N=5\cdot 6^{60}+6^{25}-4\cdot 6^{20}-43$$

Ещё 3 шага — в полном решении