Решение: Нули в записи числа
Значение арифметического выражения $9 \cdot 11^{210} + 8 \cdot 11^{150} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 3000, записали в 11-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в 11-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 60 нулей.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Решение по шагам
4 шагаВ записи числа $9 \cdot 11^{210} + 8 \cdot 11^{150}$ между цифрами 8 и 9 находятся разряды с номерами от 151 до 209. Все они являются нулевыми, то есть дают 59 нулей.
Так как $x > 0$, при вычитании из разряда $8 \cdot 11^{150}$ происходит заём. Младшая часть записи равна $11^{150}-x$, а её цифры являются дополнениями до 10 цифр числа $x-1$ в 11-ричной системе.
Чтобы получить ровно 60 нулей, среди младших разрядов должен появиться ровно один дополнительный нуль. Это происходит, когда в записи $x-1$ есть цифра $A=10$.
Проверяем наибольшие числа, не превышающие 3000: $2991 = 227A_{11}$, поэтому $2992$ подходит. Следующее число $2993-1=2992=2280_{11}$ цифры $A$ не содержит, поэтому большее значение не подходит.
Где здесь ошибаются
Не учитывать 59 нулей между разрядами $11^{150}$ и $11^{210}$.
Путать условие для $x$ с условием для $x-1$.
Считать цифру $A$ нулём в 11-ричной системе.