Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60^\circ$ и $135^\circ$, а $CD = 36$.
- 1
Так как основания трапеции параллельны, высота трапеции одинакова для обеих боковых сторон. Угол между боковой стороной $CD$ и основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.$$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$
- 2
Выразим высоту трапеции через боковые стороны $AB$ и $CD$.$$h = AB\sin 60^\circ = CD\sin 45^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 18$, $AC = 42$, $NC = 40$.
- 1
Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
- 2
Из подобия следует отношение сходственных сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 24$, $BF = 10$.
- 1
Основания трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому односторонние углы при боковой стороне $AB$ supplementary:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$.$$\angle FAB + \angle ABF = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 4$, $CK = 19$.
- 1
Так как $ABCD$ — параллелограмм, противоположные стороны параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому угол между биссектрисой $AK$ и стороной $AD$ равен углу между $AK$ и $BC$.
- 2
Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, углы $BAK$ и $KAD$ равны. С учётом параллельности $AD$ и $BC$ получаем равенство углов $BAK$ и $AKB$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^\circ$ и $150^\circ$, а $CD = 26$.
- 1
Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $AD$ и $BC$ параллельны. Высота трапеции равна произведению боковой стороны $CD$ на синус угла $BCD$.$$h = CD \cdot \sin 150^\circ$$
- 2
Вычислим высоту трапеции:$$h = 26 \cdot \frac{1}{2} = 13$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 11$, $AC = 44$, $NC = 18$.
- 1
Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
- 2
Из подобия соответствующих сторон получаем:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 24$ и $CH = 2$. Найдите высоту ромба.
- 1
Так как точка $H$ лежит на стороне $CD$, длина стороны ромба равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 24 + 2 = 26$$
- 2
Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 26$. Треугольник $ADH$ прямоугольный, так как $AH$ — высота ромба.$$AD^2 = AH^2 + DH^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $7$ и $28$, $BD = 14$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
В трапеции основания параллельны: $BC \parallel AD$. Прямая $BD$ является секущей, поэтому внутренние накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Сравним стороны, прилежащие к этим углам:$$\frac{BC}{BD} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{BD}{AD} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 13$, $AC = 65$, $NC = 28$.
- 1
Так как $MN \parallel AC$, треугольники $BMN$ и $BCA$ подобны по двум углам.$$\triangle BMN \sim \triangle BCA$$
- 2
Запишем отношение соответствующих сторон:$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{13}{65} = \frac{1}{5}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Углы при одном из оснований трапеции равны $39^\circ$ и $51^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $19$ и $3$. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является средней линией, поэтому его длина равна полусумме оснований.$$m=\dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Один из данных отрезков равен $19$, следовательно, сумма оснований равна:$$\dfrac{a+b}{2}=19\quad\Rightarrow\quad a+b=38$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 11$, $CK = 20$.
- 1
Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, длина стороны $BC$ равна сумме отрезков $BK$ и $CK$.$$BC = BK + CK = 11 + 20 = 31$$
- 2
Стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, углы $BAK$ и $KAD$ равны. Углы $KAD$ и $AKB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, углы $BAK$ и $AKB$ равны.
Ещё 2 шага — в полном решении
Углы при одном из оснований трапеции равны $80^\circ$ и $10^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $20$ и $17$. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=20$$
- 2
Следовательно, сумма оснований равна:$$a+b=40$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 20$, $AC = 35$, $NC = 39$.
- 1
Так как $MN \parallel AC$, углы треугольников $BMN$ и $BAC$ попарно равны. Следовательно, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
- 2
Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Углы при одном из оснований трапеции равны $39^\circ$ и $51^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований. Поэтому его длина равна 19:$$\frac{a+b}{2}=19$$
- 2
Следовательно, сумма оснований равна:$$a+b=38$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 44$, $BC = 24$, $CF : DF = 3 : 1$.
- 1
Из отношения $CF : DF = 3 : 1$ следует, что $CD$ состоит из четырёх равных частей, поэтому $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{3}{4}$.
- 2
Так как $EF \parallel AD \parallel BC$, отрезки, параллельные основаниям трапеции, изменяются линейно. При переходе от основания $BC$ к основанию $AD$ длина увеличивается на $AD - BC$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 24$ и $CH = 6$. Найдите высоту ромба.
- 1
Так как $ABCD$ — ромб, все его стороны равны. Поэтому сторона $CD$ равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 24 + 6 = 30$$
- 2
Высота $AH$ перпендикулярна стороне $CD$, поэтому треугольник $ADH$ прямоугольный. В нём $AD = 30$, а $DH = 24$.$$AD^2 = AH^2 + DH^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
- 1
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:$$c=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26$$
- 2
Площадь треугольника через катеты равна площади через гипотенузу и высоту:$$\dfrac{10\cdot24}{2}=\dfrac{26h}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 16$ и $CH = 4$. Найдите высоту ромба.
- 1
В ромбе все стороны равны, поэтому длина стороны $AD$ равна длине стороны $CD$:$$AD = CD = DH + CH = 16 + 4 = 20$$
- 2
Так как $AH$ — высота ромба, угол $AHD$ прямой. В прямоугольном треугольнике $ADH$ по теореме Пифагора:$$AD^2 = AH^2 + DH^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30^\circ$ и $120^\circ$, а $CD = 25$.
- 1
Опустим из вершин $A$ и $D$ перпендикуляры на основание $BC$. Полученные отрезки являются высотами трапеции, поэтому их длины равны.$$h = AB\sin 30^\circ = CD\sin 120^\circ$$
- 2
Подставим известную длину боковой стороны $CD = 25$ и значения синусов.$$AB\sin 30^\circ = 25\sin 120^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 16$, $BF = 12$.
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому внутренние односторонние углы при боковой стороне $AB$ supplementary:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Поскольку $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ в сумме равны $90^\circ$. Следовательно, угол $AFB$ прямой.$$\angle FAB + \angle ABF = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении