Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4{,}5$ и $18$, $BD = 9$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $BC$ и $AD$ параллельны. Прямая $BD$ пересекает эти параллельные прямые, поэтому накрест лежащие углы равны:$$\angle CBD = \angle BDA$$
- 2
Сравним стороны, прилежащие к этим углам:$$\frac{BC}{BD} = \frac{4{,}5}{9} = \frac{1}{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
- 1
Основание параллелограмма состоит из отрезков длиной 3 и 7.$$a = 3 + 7 = 10$$
- 2
Используем формулу площади параллелограмма: площадь равна произведению основания на высоту.$$S = ah = 10 \cdot 4 = 40$$
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…
- 1
Точки $P$ и $K$ лежат на окружности, диаметр которой равен $BH$. По теореме Фалеса углы, опирающиеся на диаметр $BH$, прямые:$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$
- 2
Поскольку $P$ лежит на стороне $AB$, а $K$ — на стороне $CB$, угол $PBK$ совпадает с прямым углом $ABC$:$$\angle PBK = 90^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна $24$, а половину второй диагонали обозначим через $x$.$$d_1=48,\quad \frac{d_1}{2}=24,\quad \frac{d_2}{2}=x$$
- 2
Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $24$ и $x$.$$a=\sqrt{24^2+x^2}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $18^\circ$ и $72^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $15$ и $4$. Найдите основания трапеции.
- 1
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является её средней линией. Поэтому его длина равна полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=15$$
- 2
Следовательно, сумма оснований равна:$$a+b=30$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^\circ$ и $120^\circ$, а $CD = 40$.
- 1
Так как $AD\parallel BC$, расстояние между основаниями является общей высотой трапеции. Обозначим её через $h$.
- 2
В прямоугольном треугольнике, образованном стороной $AB$, высотой и основанием, имеем $h=AB\sin 45^\circ$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Пусть одна диагональ равна $76$, поэтому её половина равна $38$. Половину второй диагонали обозначим через $x$.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба равна $a=\sqrt{38^2+x^2}$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 9$, $CK = 15$.
- 1
Найдём длину стороны $BC$:$$BC = BK + CK = 9 + 15 = 24$$
- 2
Так как $AK$ — биссектриса угла $DAB$, то $\angle BAK = \angle KAD$. Поскольку $AD \parallel BC$, получаем $\angle AKB = \angle KAD$. Следовательно, $\angle BAK = \angle AKB$, поэтому треугольник $ABK$ равнобедренный.$$AB = BK = 9$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Пусть одна диагональ равна $56$, тогда половина этой диагонали равна $28$. Вторую диагональ обозначим через $2x$, поэтому её половина равна $x$.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $28$ и $x$:$$a=\sqrt{28^2+x^2}=\sqrt{784+x^2}$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 3$, $CK = 19$.
- 1
Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, длина стороны $BC$ равна сумме отрезков $BK$ и $CK$.$$BC = BK + CK = 3 + 19 = 22$$
- 2
Биссектриса угла $A$ параллелограмма пересекает сторону $BC$. Из равенства углов, образованных биссектрисой и параллельными сторонами, следует равенство треугольника с равными углами, поэтому $AB = BK$.$$AB = BK = 3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 9 и 36, $BD = 18$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.
- 1
Так как $ABCD$ — трапеция, её основания параллельны: $BC \parallel AD$.
- 2
Прямая $BD$ пересекает параллельные прямые $BC$ и $AD$, поэтому углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$ равны как накрест лежащие.$$\angle CBD = \angle BDA$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60^\circ$ и $135^\circ$, а $CD = 24$.
- 1
Пусть $h$ — высота трапеции. Так как основания трапеции параллельны, высота одинакова для обеих боковых сторон.$$h = AB\sin 60^\circ = CD\sin 135^\circ$$
- 2
Подставим известное значение боковой стороны $CD$ и значения синусов.$$AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=24\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 15$ и $CH = 2$. Найдите высоту ромба.
- 1
Так как точка $H$ лежит на стороне $CD$, найдём длину стороны ромба:$$CD = DH + CH = 15 + 2 = 17$$
- 2
Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 17$. Высота $AH$ перпендикулярна стороне $CD$, значит треугольник $ADH$ прямоугольный.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 3$, $AC = 27$.
- 1
Так как $BH$ — высота к гипотенузе прямоугольного треугольника $ABC$, справедлива теорема о катете:$$AB^2 = AC \cdot AH$$
- 2
Подставим известные значения:$$AB^2 = 27 \cdot 3 = 81$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN$, если $MN = 14$, $AC = 21$, $NC = 10$.
- 1
Так как $MN \parallel AC$, углы при вершинах $B$ общие, а соответствующие углы при пересечении параллельных прямых равны. Следовательно, треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны.$$\triangle BMN \sim \triangle BAC$$
- 2
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон.$$\frac{BN}{BC}=\frac{MN}{AC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 12$ и $CH = 3$. Найдите высоту ромба.
- 1
Так как $H$ лежит на стороне $CD$, длина стороны ромба равна сумме отрезков $DH$ и $CH$:$$CD = DH + CH = 12 + 3 = 15$$
- 2
Все стороны ромба равны, поэтому $AD = CD = 15$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $62°$ и $88°$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $12$.
- 1
Найдём угол $A$ треугольника:$$A = 180° - B - C = 180° - 62° - 88° = 30°$$
- 2
По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, связана с радиусом описанной окружности формулой:$$\frac{BC}{\sin A} = 2R$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…
- 1
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив оси вдоль перпендикулярных сторон $BA$ и $BC$. Пусть координаты точки $H$ имеют вид $(x,y)$.$$BH^2=x^2+y^2$$
- 2
Окружность с диаметром $BH$ пересекает ось $BA$ в точке $P$, а ось $BC$ — в точке $K$. Поэтому координаты этих точек можно записать как $P=(x,0)$ и $K=(0,y)$.$$PK^2=(x-0)^2+(0-y)^2=x^2+y^2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 24$ и $CH = 1$. Найдите высоту ромба.
- 1
Сторона ромба равна стороне $CD$, которая состоит из двух данных отрезков:$$CD = DH + CH = 24 + 1 = 25$$
- 2
Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 25$. Треугольник $ADH$ прямоугольный, так как $AH$ — высота ромба.$$AD^2 = AH^2 + DH^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 11$, $DC = 22$, $AC = 27$.
- 1
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Углы $AMB$ и $CMD$ — вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ABM$ и $CDM$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.$$\angle AMB = \angle CMD,\quad \angle ABM = \angle CDM$$
- 2
Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам. Соответствующие стороны пропорциональны.$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде