Математика НМТ — розв’язання завдань з відповідями

Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель 6.$$2(2x-7)=3(5x+4)$$

Раскрываем скобки и переносим члены с x в одну сторону.$$4x-14=15x+12\quad\Rightarrow\quad-11x=26$$

Переписываем обе части как степени основания 3.$$3^{7-x}=3^{1/2}$$

Приравниваем показатели степеней.$$7-x=\frac12\quad\Rightarrow\quad x=6{,}5$$

Между первым и шестым членами пять кроків прогрессии. Находим её разность.$$a_6-a_1=5d=-30\quad\Rightarrow\quad d=-6$$

Третий член равен первому плюс две разности.$$a_3=a_1+2d$$

Производная 6x равна 6, производная косинуса равна минус синус.$$f'(x)=6+2\sin x$$

В точке $\pi/2$ синус равен 1.$$f'(\pi/2)=6+2\cdot1=8$$

Раскрываем первый множитель и квадрат разности.$$x(x-2y)=x^2-2xy,\qquad(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$$

Вычитаем весь второй многочлен, меняя знаки каждого его члена.$$x^2-2xy-x^2+2xy-y^2=-y^2$$

Представляем 20 как $2\cdot10$, а 0,1 как $10^{-1}$. Тогда числитель равен $2^7\cdot10^7\cdot10^{-6}=2^7\cdot10$.

Знаменатель равен $4^5=2^{10}$. Сокращаем степени двойки.$$\frac{2^7\cdot10}{2^{10}}=\frac{10}{2^3}=\frac{10}{8}$$

Область определения логарифма: x > 0. Переносим члены уравнения.$$\log_{0{,}5}x=-2$$

Переходим от логарифмической записи к показательной.$$x=(0{,}5)^{-2}=4$$

Аргумент логарифма должен быть положительным.$$1-2x>0\quad\Rightarrow\quad x<\frac12$$

Основание 3 больше 1, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется.$$1-2x<3^2=9\quad\Rightarrow\quad x>-4$$

Меньшее основание равно $2b/5$. В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно середины нижнего.

Пусть H — основание перпендикуляра из B на AD. Тогда $AH=(AD-BC)/2=3b/10$, а $OH=b/2-3b/10=b/5$.

Угол ABC прямоугольный, поэтому $\angle KBC=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза — BC.

По синусу угла 60° находим BC, а по косинусу — BK.$$BC=\frac{6\sqrt3}{\sin60^\circ}=12,\qquad BK=12\cos60^\circ=6$$

Кубическая функция $y=-x^3$ непрерывна и принимает все действительные значения. Ей соответствует свойство Г.

Для пересечения $y=\sqrt x$ с окружностью подставляем $y^2=x$. Уравнение $x^2+x-9=0$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Из-за условия $x\ge0$ подходит только положительный: одна точка, свойство Б.

Уравнение $y=-2x$ выполняется при x = 0, y = 0. Эта прямая проходит через начало координат: свойство Г.

У прямой $y=2x+2$ положительный угловой коэффициент 2. Поэтому угол наклона к положительному направлению оси x острый: свойство А.

Синус — нечётная функция, а $\sin(\pi/6)=1/2$. Поэтому первый результат $-1/2$, буква Г.

Число $\pi+2$ положительно. Убираем модуль: $\pi-(\pi+2)=-2$, буква Б.

Нулевая степень ненулевого числа равна 1. Это значение принадлежит (0;1], буква В.

Во втором выражении сокращаем произведение сопряжённых множителей.$$(\sqrt5-1)\frac{\sqrt5+1}{2}=\frac{5-1}{2}=2$$

Сторона квадрата равна четверти его периметра: $40/4=10$ см. Первый пункт — В.

В прямоугольнике CKMD диагональ CM равна 26 см, а высота — 10 см. По теореме Пифагора находим ширину. Второй пункт — Г.$$CK=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{576}=24\text{ см}$$

В треугольнике ABK точка M — середина AK, а MN параллелен BK. Поэтому MN — средняя лінія и $BK=2MN=12$ см.

Сторона квадрата равна $BC=BK+KC=12+4=16$ см. Значит, AB = 16 см, буква В.

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной. Параллельные прямые имеют одинаковый коэффициент, поэтому $f'(3)=1{,}5$.

Дифференцируем выражение g(x).$$g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x)$$

У чётной функции значение при смене знака аргумента сохраняется: $f(-x_0)=f(x_0)=1$.

У нечётной функции значение меняет знак: $g(-x_0)=-g(x_0)=3$.

Всего в самолёте $6n$ равновероятных посадочных мест.

В каждом ряду два места у прохода. В первом и последнем рядах вместе чотири подходящих места.

В первых трёх рядах $3\cdot6=18$ мест, всього мест $6n$.

Вероятность равна отношению числа подходящих мест к общему числу мест.$$\frac{18}{6n}=\frac1{14}$$