У рівнобічній трапеції $ABCD$ точка $O$ є серединою основи $AD$, $\angle AOB=45^\circ$, $AD:BC=5:2$ (див. рисунок). Визначте площу трапеції $ABCD$, якщо $AD=b$.
1
Меньшее основание равно $2b/5$. В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно середины нижнего.
2
Пусть H — основание перпендикуляра из B на AD. Тогда $AH=(AD-BC)/2=3b/10$, а $OH=b/2-3b/10=b/5$.
На стороні $AD$ прямокутника $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що трикутник $BKC$ є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника $ABCD$, якщо $\angle ABK=30^\circ$, $KC=6\sqrt3$.
1
Угол ABC прямоугольный, поэтому $\angle KBC=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза — BC.
2
По синусу угла 60° находим BC, а по косинусу — BK.$$BC=\frac{6\sqrt3}{\sin60^\circ}=12,\qquad BK=12\cos60^\circ=6$$