01УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-03№ 3Підвищена Позначте число, що є розв’язком системи нерівностей $\begin{cases}x>-3,\\x\le7.\end{cases}$
- 1
Система требует одновременного выполнения обоих неравенств.$$-3<x\le7$$
- 2
Числа −10 и −7 меньше −3, а число −3 исключено строгим первым неравенством. Число 10 больше 7.
Ще один крок - у повному рішенні
02УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-03№ 3Підвищена Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2-|x|=0{,}1$?
- 1
Выражаем модуль неизвестного.$$|x|=2-0{,}1=1{,}9$$
- 2
Уравнение имеет два корня: $x=1{,}9$ и $x=-1{,}9$.
Ще один крок - у повному рішенні
03УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-04№ 4Підвищена $0{,}6x^3\cdot5x^4=$
- 1
Перемножаем числовые коэффициенты.$$0{,}6\cdot5=3$$
- 2
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.$$x^3\cdot x^4=x^{3+4}=x^7$$
Ще один крок - у повному рішенні
04УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-04№ 4Підвищена $4x+x^2-5-2x^2-4x+19=$
- 1
Линейные члены взаимно уничтожаются: $4x-4x=0$.
- 2
Объединяем квадратичные члены и постоянные слагаемые.$$x^2-2x^2=-x^2,\qquad-5+19=14$$
Ще один крок - у повному рішенні
05УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-07№ 7Підвищена Під час миття рук милом із крана витікає 25 л води, з них 60 % марнують під час намилювання. Скільки літрів води можна зберегти, якщо закривати кран перед намилюванням рук?
- 1
Сберечь можно ту часть воды, которая расходуется впустую: 60 % от 25 л.
- 2
Переводим процент в десятичную дробь и умножаем.$$25\cdot\frac{60}{100}=15$$
Ще один крок - у повному рішенні
06УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-07№ 7Підвищена Чорної п’ятниці в магазині пропонують акцію: за кожен придбаний чорний гаманець покупець платить на 70 % менше від його ціни. Покупець придбав чорний гаманець і заплатив за нього 105 грн…
- 1
После скидки 70 % покупатель платит 30 % исходной цены.
- 2
Пусть первоначальная цена равна p. Тогда $0{,}3p=105$.
Ще один крок - у повному рішенні
07УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-09№ 9Підвищена $\log_5 5^{10}=$
- 1
Логарифм показывает показатель степени, в которую нужно возвести основание для получения аргумента.
- 2
Основание и основание степени совпадают, поэтому логарифм равен показателю.$$\log_5 5^{10}=10$$
Ще один крок - у повному рішенні
08УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-09№ 9Підвищена Якщо $a=\frac{(b+c)\cdot d}{2}$, то $c=$
- 1
Умножаем равенство на 2: $2a=(b+c)d$.
- 2
При $d\ne0$ делим на d и получаем $2a/d=b+c$.
Ще один крок - у повному рішенні
09УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-11№ 11Підвищена Розв’яжіть рівняння $\frac{2x-7}{3}=\frac{5x+4}{2}$.
- 1
Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель 6.$$2(2x-7)=3(5x+4)$$
- 2
Раскрываем скобки и переносим члены с x в одну сторону.$$4x-14=15x+12\quad\Rightarrow\quad-11x=26$$
Ще один крок - у повному рішенні
10УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-11№ 11Підвищена Якому проміжку належить корінь рівняння $(\frac13)^{x-7}=\sqrt3$?
- 1
Переписываем обе части как степени основания 3.$$3^{7-x}=3^{1/2}$$
- 2
Приравниваем показатели степеней.$$7-x=\frac12\quad\Rightarrow\quad x=6{,}5$$
Ще один крок - у повному рішенні
11УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-12№ 12Підвищена В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6-a_1=-30$. Обчисліть значення виразу $a_1-a_3$.
- 1
Между первым и шестым членами пять кроків прогрессии. Находим её разность.$$a_6-a_1=5d=-30\quad\Rightarrow\quad d=-6$$
- 2
Третий член равен первому плюс две разности.$$a_3=a_1+2d$$
Ще один крок - у повному рішенні
12УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-13№ 13Підвищена $x(x-2y)-(x-y)^2=$
- 1
Раскрываем первый множитель и квадрат разности.$$x(x-2y)=x^2-2xy,\qquad(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$$
- 2
Вычитаем весь второй многочлен, меняя знаки каждого его члена.$$x^2-2xy-x^2+2xy-y^2=-y^2$$
Ще один крок - у повному рішенні
13УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-13№ 13Підвищена $\frac{20^7\cdot0{,}1^6}{4^5}=$
- 1
Представляем 20 как $2\cdot10$, а 0,1 как $10^{-1}$. Тогда числитель равен $2^7\cdot10^7\cdot10^{-6}=2^7\cdot10$.
- 2
Знаменатель равен $4^5=2^{10}$. Сокращаем степени двойки.$$\frac{2^7\cdot10}{2^{10}}=\frac{10}{2^3}=\frac{10}{8}$$
Ще один крок - у повному рішенні
14УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-14№ 14Підвищена Позначте проміжок, якому належить корінь рівняння $1-\log_{0{,}5}x=3$.
- 1
Область определения логарифма: x > 0. Переносим члены уравнения.$$\log_{0{,}5}x=-2$$
- 2
Переходим от логарифмической записи к показательной.$$x=(0{,}5)^{-2}=4$$
Ще один крок - у повному рішенні
15УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-14№ 14Підвищена Розв’яжіть нерівність $\log_3(1-2x)<2$.
- 1
Аргумент логарифма должен быть положительным.$$1-2x>0\quad\Rightarrow\quad x<\frac12$$
- 2
Основание 3 больше 1, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется.$$1-2x<3^2=9\quad\Rightarrow\quad x>-4$$
Ще один крок - у повному рішенні
16УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-17№ 17Висока Доберіть до числового виразу (1–3) його значення (А – Д).
- 1
Синус — нечётная функция, а $\sin(\pi/6)=1/2$. Поэтому первый результат $-1/2$, буква Г.
- 2
Число $\pi+2$ положительно. Убираем модуль: $\pi-(\pi+2)=-2$, буква Б.
Ще один крок - у повному рішенні
17УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-17№ 17Висока Узгодьте вираз (1–3) та проміжок (А – Д), якому належить його значення, де $\varphi=\frac{\sqrt5+1}{2}$ — відома математична величина, яку називають золотим числом.
- 1
Нулевая степень ненулевого числа равна 1. Это значение принадлежит (0;1], буква В.
- 2
Во втором выражении сокращаем произведение сопряжённых множителей.$$(\sqrt5-1)\frac{\sqrt5+1}{2}=\frac{5-1}{2}=2$$
Ещё 2 кроки - У повному рішенні
18УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-22№ 22Висока Визначте найбільше значення $a$, за якого рівняння $\frac{3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}=0$ має корінь.
- 1
Оба корня в знаменателе определены при $0\le x\le3$. На всём этом отрезке их сумма положительна, поэтому знаменатель не обращается в нуль.
- 2
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Переписываем корень как степень тройки.$$3^{2a-5x+2}=\sqrt{27}=3^{3/2}$$
Ещё 2 кроки - У повному рішенні
19УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-22№ 22Висока Визначте значення $a$, за якого система рівнянь $\begin{cases}y+(x-1)^2=5a,\\x^2-2x+y^2+8y=47\end{cases}$ має єдиний розв’язок.
- 1
Дополняем квадраты во втором уравнении: $(x-1)^2+(y+4)^2=64$. Оба уравнения симметричны относительно прямой x = 1.
- 2
Любое решение с x ≠ 1 даёт второе, отражённое решение с абсциссой 2 − x. Поэтому единственное решение возможно только при x = 1.
Ещё 3 кроки - У повному рішенні