Рішення: Параметр системы уравнений с единственным решением
Визначте значення $a$, за якого система рівнянь $\begin{cases}y+(x-1)^2=5a,\\x^2-2x+y^2+8y=47\end{cases}$ має єдиний розв’язок.
Розв’язання по шагам
5 кроківДополняем квадраты во втором уравнении: $(x-1)^2+(y+4)^2=64$. Оба уравнения симметричны относительно прямой x = 1.
Любое решение с x ≠ 1 даёт второе, отражённое решение с абсциссой 2 − x. Поэтому единственное решение возможно только при x = 1.
При x = 1 второе уравнение даёт y = 4 или y = −12, а первое — y = 5a. Кандидаты: a = 0,8 и a = −2,4.
Вводим $t=(x-1)^2\ge0$. Для a = 0,8 имеем $y=4-t$, откуда $t+(8-t)^2=64$, то есть $t(t-15)=0$. Есть положительный корень t = 15, поэтому появляются ещё два рішення.
Для a = −2,4 имеем $y=-12-t$, откуда $t+(8+t)^2=64$, то есть $t(t+17)=0$. Единственный неотрицательный корень t = 0 даёт x = 1, y = −12. Відповідь:−2,4.