22
Рішення: Наибольший параметр в показательном уравнении
НМТ · Математика · Завдання 22 · Алгебра
ВисокаУЦОЯВnmt-2025-math-v1-22Коротка відповідь≈ 4 хвилиниАналіз в 4 крокиВідповідь звірена з ключем
Умова
Визначте найбільше значення $a$, за якого рівняння $\frac{3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}=0$ має корінь.
Розв’язання по шагам
4 кроки1
Оба корня в знаменателе определены при $0\le x\le3$. На всём этом отрезке их сумма положительна, поэтому знаменатель не обращается в нуль.
2
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Переписываем корень как степень тройки.
$$3^{2a-5x+2}=\sqrt{27}=3^{3/2}$$3
Приравниваем показатели степеней и выражаем параметр.
$$2a-5x+2=\frac32\quad\Rightarrow\quad a=\frac52x-\frac14$$4
Полученная линейная функция возрастает. На отрезке [0;3] максимум достигается при x = 3.
$$a_{\max}=\frac52\cdot3-\frac14=\frac{29}{4}=7{,}25$$Відповідь
7,25
7,25
так відповідь виглядає у бланку