Розв’язання завдань НМТ по математики: «Геометрия» - З відповідями

Полный угол вокруг центра круга равен 360°.

Три равных сектора имеют одинаковые центральные углы.$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$$

В треугольнике ACD сумма углов равна 180°.$$\angle ADC=180^\circ-18^\circ-43^\circ=119^\circ$$

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Поэтому его острый угол равен $180^\circ-119^\circ=61^\circ$.

Вершина невырожденной пирамиды S не лежит в плоскости её основания ABC.

Через точку вне плоскости можно провести ровно одну плоскость, параллельную данной.

Прямая параллельна плоскости, если они не пересекаются. Плоскости, содержащие AB, не считаются параллельными этой прямой.

Плоскости граней ABB₁A₁ и ABCD содержат AB. Плоскости граней ADD₁A₁ и BCC₁B₁ пересекают её в A и B.

При центральной симметрии точка B является серединой отрезка AC. Поэтому координаты C равны удвоенным координатам B минус координаты A.$$C=2B-A$$

Считаем каждую координату.$$C=(2\cdot7-5;\ 2\cdot2-(-4);\ 2\cdot(-2)-0)=(9;8;-4)$$

Находим расстояние между центрами.$$d=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\sqrt{676}=26$$

При внешнем касании сумма радиусов равна 26. Радиус большей сферы должен быть больше половины суммы, но меньше всей суммы: $13<R<26$.

Утверждение I неправильно: по неравенству треугольника сумма двух сторон больше третьей, а не меньше.

Утверждение II неверно: например, в треугольнике с углами 120°, 30°, 30° сумма двух меньших углов равна 60°.

I верно: центр вписанной окружности равноудалён от параллельных оснований. Он лежит на отрезке внутри трапеции, проходящем на половине её высоты, то есть на средней линии.

II неверно. Например, у равнобедренной трапеции с основаниями 6 и 2 и боковыми сторонами 4 есть вписанная окружность. Её центр находится на половине высоты, а пересечение диагоналей — на высоте 3/4 полной высоты от большего основания.

Меньшее основание равно $2b/5$. В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно середины нижнего.

Пусть H — основание перпендикуляра из B на AD. Тогда $AH=(AD-BC)/2=3b/10$, а $OH=b/2-3b/10=b/5$.

Угол ABC прямоугольный, поэтому $\angle KBC=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза — BC.

По синусу угла 60° находим BC, а по косинусу — BK.$$BC=\frac{6\sqrt3}{\sin60^\circ}=12,\qquad BK=12\cos60^\circ=6$$

Сторона квадрата равна четверти его периметра: $40/4=10$ см. Первый пункт — В.

В прямоугольнике CKMD диагональ CM равна 26 см, а высота — 10 см. По теореме Пифагора находим ширину. Второй пункт — Г.$$CK=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{576}=24\text{ см}$$

В треугольнике ABK точка M — середина AK, а MN параллелен BK. Поэтому MN — средняя лінія и $BK=2MN=12$ см.

Сторона квадрата равна $BC=BK+KC=12+4=16$ см. Значит, AB = 16 см, буква В.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Сторона ромба — гипотенуза треугольника с катетами 6 и 8 см.$$r=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ см}$$

По боковой поверхности цилиндра находим общую высоту.$$2\pi rh=400\pi\quad\Rightarrow\quad h=20\text{ см}$$

Боковая поверхность конуса равна $\pi rl$, образующая l = 25. Находим радиус, который одновременно равен апофеме пирамиды.$$\pi r\cdot25=500\pi\quad\Rightarrow\quad r=20$$

Боковая грань пирамиды — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 25 и высотой 20. Половина стороны основания равна $\sqrt{25^2-20^2}=15$, значит, сторона основания равна 30.