Геометрия — 14 завдань

Емблема компанії має вигляд круга, від центра $O$ якого проведено радіуси $OA$, $OB$ і $OC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $AOB$, якщо радіуси поділяють круг на три рівні частини.

У паралелограмі $ABCD$ проведено діагональ $AC$ (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма, якщо $\angle CAD=18^\circ$, $\angle ACD=43^\circ$.

На рисунку зображено трикутну піраміду $SABC$ з основою $ABC$. Скільки всього площин, паралельних площині основи піраміди, можна провести через її вершину $S$?

На рисунку зображено куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Скільки всього площин, паралельних прямій $AB$, містять грані куба?

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A(5;-4;0)$ і $B(7;2;-2)$. Визначте точку $C$, симетричну точці $A$ відносно точки $B$.

У прямокутній системі координат у просторі кулі із центрами в точках $O_1$ і $O_2$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню може дорівнювати радіус більшої кулі, якщо $O_1(1;-4;10)$, $O_2(7;4;-14)$?

Які з наведених тверджень є правильними для будь-якого трикутника? I. Сума будь-яких двох сторін трикутника менша за третю його сторону. II. Сума будь-яких двох кутів трикутника більша за $90^\circ$. III. Навпроти найбільшої сторони трикутника лежить найбільший його кут.

Які з наведених тверджень є правильними? I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції. II. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції. III. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола…

У рівнобічній трапеції $ABCD$ точка $O$ є серединою основи $AD$, $\angle AOB=45^\circ$, $AD:BC=5:2$ (див. рисунок). Визначте площу трапеції $ABCD$, якщо $AD=b$.

На стороні $AD$ прямокутника $ABCD$ вибрано точку $K$ так, що трикутник $BKC$ є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника $ABCD$, якщо $\angle ABK=30^\circ$, $KC=6\sqrt3$.

Прямокутник $ABKM$ складається з квадрата $ABCD$ та прямокутника $CKMD$ (див. рисунок). Периметр квадрата $ABCD$ дорівнює 40 см, а довжина відрізка $CM$ — 26 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

На рисунку зображено квадрат $ABCD$. На стороні $BC$ вибрано точку $K$ так, що $KC=4$ см. Точка $M$ — середина відрізка $AK$. Пряма, що проходить через точку $M$ паралельно стороні $BC$, перетинає сторони $AB$ та $CD$ в точках $N$ і $P$ відповідно, $NM=6$ см. Узгодьте відрізок (1–3) та його довжину (А – Д).

Циліндр і пряма чотирикутна призма мають рівні висоти. Основою призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють 12 см і 16 см. Радіус основи циліндра дорівнює стороні ромба. Обчисліть об’єм (см³) заданої призми, якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $400\pi$ см².

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по 25 см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу (см²) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\pi$ см².