Математика НМТ — розв’язання завдань з відповідями

«Не превышала 10 °C» означает, что точки графика лежат на уровне 10 °C или ниже.

Первый такой промежуток — от 0 до 7 часов, второй — от 22 до 24 часов.

«Не менее 2 часов» включает час 2; 2,5; 3; 3,5 и 4 часа.

По высотам соответствующих столбцов читаем количества учеников: 4, 5, 2, 1 и 1.

Полный угол вокруг центра круга равен 360°.

Три равных сектора имеют одинаковые центральные углы.$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$$

В треугольнике ACD сумма углов равна 180°.$$\angle ADC=180^\circ-18^\circ-43^\circ=119^\circ$$

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Поэтому его острый угол равен $180^\circ-119^\circ=61^\circ$.

Система требует одновременного выполнения обоих неравенств.$$-3<x\le7$$

Числа −10 и −7 меньше −3, а число −3 исключено строгим первым неравенством. Число 10 больше 7.

Выражаем модуль неизвестного.$$|x|=2-0{,}1=1{,}9$$

Уравнение имеет два корня: $x=1{,}9$ и $x=-1{,}9$.

Перемножаем числовые коэффициенты.$$0{,}6\cdot5=3$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.$$x^3\cdot x^4=x^{3+4}=x^7$$

Линейные члены взаимно уничтожаются: $4x-4x=0$.

Объединяем квадратичные члены и постоянные слагаемые.$$x^2-2x^2=-x^2,\qquad-5+19=14$$

Вершина невырожденной пирамиды S не лежит в плоскости её основания ABC.

Через точку вне плоскости можно провести ровно одну плоскость, параллельную данной.

Прямая параллельна плоскости, если они не пересекаются. Плоскости, содержащие AB, не считаются параллельными этой прямой.

Плоскости граней ABB₁A₁ и ABCD содержат AB. Плоскости граней ADD₁A₁ и BCC₁B₁ пересекают её в A и B.

Вершина исходного графика имеет абсциссу 0, вершина нового — абсциссу −2. Высота вершины не изменилась.

График перенесён на 2 единицы влево. Такому сдвигу соответствует прибавление 2 к аргументу функции.$$y=f(x+2)$$

При вертикальном сдвиге аргумент x не меняется.

Сдвиг вниз на 4 уменьшает каждое значение функции на 4.$$y=x^3-4$$

Сберечь можно ту часть воды, которая расходуется впустую: 60 % от 25 л.

Переводим процент в десятичную дробь и умножаем.$$25\cdot\frac{60}{100}=15$$

После скидки 70 % покупатель платит 30 % исходной цены.

Пусть первоначальная цена равна p. Тогда $0{,}3p=105$.

При центральной симметрии точка B является серединой отрезка AC. Поэтому координаты C равны удвоенным координатам B минус координаты A.$$C=2B-A$$

Считаем каждую координату.$$C=(2\cdot7-5;\ 2\cdot2-(-4);\ 2\cdot(-2)-0)=(9;8;-4)$$

Находим расстояние между центрами.$$d=\sqrt{(7-1)^2+(4+4)^2+(-14-10)^2}=\sqrt{676}=26$$

При внешнем касании сумма радиусов равна 26. Радиус большей сферы должен быть больше половины суммы, но меньше всей суммы: $13<R<26$.

Логарифм показывает показатель степени, в которую нужно возвести основание для получения аргумента.

Основание и основание степени совпадают, поэтому логарифм равен показателю.$$\log_5 5^{10}=10$$

Умножаем равенство на 2: $2a=(b+c)d$.

При $d\ne0$ делим на d и получаем $2a/d=b+c$.

Утверждение I неправильно: по неравенству треугольника сумма двух сторон больше третьей, а не меньше.

Утверждение II неверно: например, в треугольнике с углами 120°, 30°, 30° сумма двух меньших углов равна 60°.

I верно: центр вписанной окружности равноудалён от параллельных оснований. Он лежит на отрезке внутри трапеции, проходящем на половине её высоты, то есть на средней линии.

II неверно. Например, у равнобедренной трапеции с основаниями 6 и 2 и боковыми сторонами 4 есть вписанная окружность. Её центр находится на половине высоты, а пересечение диагоналей — на высоте 3/4 полной высоты от большего основания.