НМТ · математика · Рішення по темі

Розв’язання завдань НМТ по математики: «Функции и производные» - З відповідями

Каждая задача темы из банка заданий — с ответом и первыми шагами розбору. Повне рішення щодо кроків та офіційний ключ — за посиланнями у картці.

Завдання без рішень
9
рішень з відповідями
44
завдань у предметі
1
сторінок списку
01УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-01№ 1Підвищена

Продолжительность периода по графику температуры

На графіку функції відображено зміну температури повітря в травні протягом доби. Визначте за графіком кількість годин, протягом яких температура не перевищувала $10^\circ$ С.

  1. 1
    «Не превышала 10 °C» означает, что точки графика лежат на уровне 10 °C или ниже.
  2. 2
    Первый такой промежуток — от 0 до 7 часов, второй — от 22 до 24 часов.

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі
02УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-01№ 1Підвищена

Число учеников по столбчатой диаграмме

На діаграмі відображено результати опитування учнів щодо тривалості підготовки до контрольної. Визначте за діаграмою кількість учнів, що готувалися до контрольної не менш як 2 години.

  1. 1
    «Не менее 2 часов» включает час 2; 2,5; 3; 3,5 и 4 часа.
  2. 2
    По высотам соответствующих столбцов читаем количества учеников: 4, 5, 2, 1 и 1.

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі
03УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-06№ 6Підвищена

Сдвиг графика функции влево

Укажіть функцію, графік якої зображено на рисунку 2, якщо він отриманий внаслідок паралельного перенесення графіка функції $y=f(x)$ (див. рис. 1).

  1. 1
    Вершина исходного графика имеет абсциссу 0, вершина нового — абсциссу −2. Высота вершины не изменилась.
  2. 2
    График перенесён на 2 единицы влево. Такому сдвигу соответствует прибавление 2 к аргументу функции.$$y=f(x+2)$$

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі
04УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-06№ 6Підвищена

Вертикальное смещение кубической функции

Графік функції $y=x^3$ перенесли на 4 одиниці вниз уздовж осі $y$. Графік якої функції отримали внаслідок такого перетворення?

  1. 1
    При вертикальном сдвиге аргумент x не меняется.
  2. 2
    Сдвиг вниз на 4 уменьшает каждое значение функции на 4.$$y=x^3-4$$

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі
05УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-12№ 12Підвищена

Производная линейной и тригонометрической функций

Обчисліть значення похідної функції $f(x)=6x-2\cos x$ у точці $x_0=\pi/2$.

  1. 1
    Производная 6x равна 6, производная косинуса равна минус синус.$$f'(x)=6+2\sin x$$
  2. 2
    В точке $\pi/2$ синус равен 1.$$f'(\pi/2)=6+2\cdot1=8$$

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі
06УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-16№ 16Висока

Сопоставление функций и их свойств

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

  1. 1
    Кубическая функция $y=-x^3$ непрерывна и принимает все действительные значения. Ей соответствует свойство Г.
  2. 2
    Для пересечения $y=\sqrt x$ с окружностью подставляем $y^2=x$. Уравнение $x^2+x-9=0$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Из-за условия $x\ge0$ подходит только положительный: одна точка, свойство Б.

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі
07УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-16№ 16Висока

Свойства прямых по их уравнениям

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

  1. 1
    Уравнение $y=-2x$ выполняется при x = 0, y = 0. Эта прямая проходит через начало координат: свойство Г.
  2. 2
    У прямой $y=2x+2$ положительный угловой коэффициент 2. Поэтому угол наклона к положительному направлению оси x острый: свойство А.

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі
08УЦОЯВ nmt-2025-math-v1-19№ 19Висока

Производная функции по наклону касательной

Дотична, проведена до графіка функції $y=f(x)$ у точці з абсцисою $x_0=3$, паралельна прямій $y=1{,}5x+5$. Обчисліть значення похідної функції $g(x)=\frac{18}{x}-f(x)$ в точці $x_0=3$.

  1. 1
    Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной. Параллельные прямые имеют одинаковый коэффициент, поэтому $f'(3)=1{,}5$.
  2. 2
    Дифференцируем выражение g(x).$$g'(x)=-\frac{18}{x^2}-f'(x)$$

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі
09УЦОЯВ nmt-2025-math-v2-19№ 19Висока

Значение выражения с чётной и нечётной функциями

Функція $f(x)$ є парною, а функція $g(x)$ — непарною. Обчисліть значення виразу $\frac{4g(-x_0)+2f(x_0)}{5f(-x_0)}$, якщо $f(x_0)=1$, $g(x_0)=-3$.

  1. 1
    У чётной функции значение при смене знака аргумента сохраняется: $f(-x_0)=f(x_0)=1$.
  2. 2
    У нечётной функции значение меняет знак: $g(-x_0)=-g(x_0)=3$.

Ще один крок - у повному рішенні

Розв’язання полностьюВідповідьРешать самому3 кроки у розборі

Ті ж завдання без рішень, з фільтрами за складністю та типом відповіді, — список завдань. Другой предмет — в каталоге.