Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по физике: «Геометрическая оптика» — с ответами

Граничный луч тени касается верхнего конца сваи, проходит до поверхности воды и затем преломляется при переходе из воздуха в воду.

По закону преломления света найдём угол преломления $r$ относительно нормали к поверхности воды:$$\sin 30^\circ=\frac{4}{3}\sin r$$

Переведём период решётки в нанометры:$$d=0{,}002\ \text{мм}=2000\ \text{нм}$$

Для главных максимумов при нормальном падении света выполняется условие $d\sin\varphi=k\lambda$. Максимальный порядок определяется ограничением $k\lambda\le d$:$$k_{\max}=\left\lfloor\frac{d}{\lambda}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{2000}{420}\right\rfloor=4$$

Оптическая сила линзы связана с фокусным расстоянием соотношением $D=\dfrac{1}{f}$. Поэтому$$f=\frac{1}{D}=\frac{1}{2{,}5}\ \text{м}=0{,}4\ \text{м}=40\ \text{см}$$

Точка $A$ находится на расстоянии $2f=80\ \text{см}$ от линзы. Для неё формула тонкой линзы даёт$$\frac{1}{40}=\frac{1}{80}+\frac{1}{b_A},\qquad b_A=80\ \text{см}$$

Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, распространяется прямолинейно и не отклоняется.

На рисунке прямая, соединяющая точку $S$ с оптическим центром линзы, при продолжении влево проходит через точку 4.

Оптическая сила линзы равна $D = 2{,}5\ \text{дптр}$, поэтому фокусное расстояние составляет $f = \dfrac{1}{D} = 0{,}4\ \text{м} = 40\ \text{см}$.$$f = \frac{1}{D} = 40\ \text{см}$$

Точка $C$ находится на расстоянии $2f = 80\ \text{см}$ от линзы. Поэтому её изображение $C'$ находится на расстоянии $2f = 80\ \text{см}$ за линзой, а линейное увеличение для этой точки равно $-1$. Отрезок $BC$ длиной $4\ \text{см}$…$$a_C = 2f,\quad b_C = 2f = 80\ \text{см},\quad |B'C'| = |BC| = 4\ \text{см}$$

Фокусное расстояние собирающей линзы равно$$f = \frac{1}{D} = \frac{1}{2}\ \text{м} = 0{,}5\ \text{м}$$

Расстояние от ближней стороны квадрата до линзы составляет$$d_2 = d_1 - a = 0{,}90 - 0{,}20 = 0{,}70\ \text{м}$$

Оптическая сила линзы равна $D = 2{,}5$ дптр, поэтому фокусное расстояние линзы:$$f = \frac{1}{D} = \frac{1}{2{,}5}\,\text{м} = 0{,}4\,\text{м} = 40\,\text{см}$$

Точка $A$ расположена на расстоянии, равном удвоенному фокусному расстоянию:$$a_A = 2f = 80\,\text{см}$$

Для главного максимума второго порядка применяем условие дифракционной решётки.$$d\sin\varphi = k\lambda$$

Выразим синус угла дифракции для $k=2$:$$\sin\varphi = \frac{k\lambda}{d} = \frac{2\cdot0{,}6\cdot10^{-6}}{0{,}05\cdot10^{-3}} = 0{,}024$$

Переведём оптическую силу линзы в фокусное расстояние:$$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2}\ \text{м} = 0{,}5\ \text{м} = 50\ \text{см}$$

Дальняя сторона находится на расстоянии $d_1 = 70\ \text{см}$ от линзы. По формуле тонкой линзы найдём расстояние до её изображения:$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1},\qquad f_1 = \frac{F d_1}{d_1 - F} = \frac{50 \cdot 70}{70 - 50} = 175\ \text{см}$$

Для дифракционной решётки при нормальном падении света условие главного максимума имеет вид:$$d\sin\varphi_m=m\lambda$$

Максимум порядка $m$ в задней фокальной плоскости линзы расположен на расстоянии $x_m=f\tg\varphi_m$ от центрального максимума. Для малых углов $\tg\varphi_m\approx\sin\varphi_m$, поэтому:$$x_m\approx f\sin\varphi_m=\frac{fm\lambda}{d}$$

Введём координаты: плоскость линзы имеет координату $z=0$, главная оптическая ось — $y=0$. Тогда источник имеет координаты $(-b,H)=(-70,5)$, а отверстие в экране, расположенное в левой фокальной плоскости, имеет координаты…$$S=(-70,5),\quad A=(-20,-4)$$

Найдём угловой коэффициент луча $SA$. По горизонтали от точки $S$ до отверстия расстояние равно $b-F$, а изменение координаты по вертикали равно $-(H+h)$.$$k_1=\frac{-h-H}{b-F}=\frac{-4-5}{70-20}=-\frac{9}{50}=-0{,}18$$

Фокусное расстояние линзы определяем по её оптической силе:$$f = \frac{1}{D} = \frac{1}{20}\ \text{м} = 5\ \text{см}$$

По формуле тонкой линзы находим расстояние от линзы до изображения исходного источника:$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{b},\qquad b = \frac{fd}{d-f} = \frac{5\cdot 6}{6-5}\ \text{см} = 30\ \text{см}$$

Объектив сфокусирован на бесконечность, поэтому плёнка находится на расстоянии $f$ от линзы. Для предмета на конечном расстоянии $d$ лучи после линзы пересекаются за плёнкой, и на плёнке возникает пятно диаметром $b$.

Из подобия треугольников на рисунке получаем связь между диаметром входного отверстия $D$ и диаметром пятна:$$b = D\frac{f}{d}$$

Источник находится на расстоянии $d = 15\ \text{см}$ от линзы, а фокусное расстояние линзы равно $F = 10\ \text{см}$. По формуле тонкой линзы найдём расстояние от линзы до изображения:$$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{b}$$

Выразим расстояние до изображения и подставим значения:$$b = \dfrac{Fd}{d-F} = \dfrac{10\cdot15}{15-10}\ \text{см} = 30\ \text{см}$$

Обозначим расстояние от предмета до линзы через $a$, а расстояние от изображения до линзы — через $b$. Для мнимого изображения изображение находится с той же стороны линзы, что и предмет, поэтому $b < 0$.$$b=-\Gamma a=-4a$$

Применим формулу тонкой линзы с учётом знака расстояния до мнимого изображения.$$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$

Найдём фокусное расстояние линзы по её оптической силе:$$f = \dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{10\ \text{дптр}} = 0{,}1\ \text{м} = 10\ \text{см}$$

Источник расположен на двойном фокусном расстоянии, то есть на расстоянии $20\ \text{см}$ от линзы. Рассмотрим крайний луч, проходящий через край круглого отверстия. В плоскости линзы его высота равна радиусу отверстия $r = 5\ \text{см}$.

Чтобы свет от лампочки не выходил из воды, плот должен закрывать всю область поверхности, через которую свет мог бы выйти. Граничный луч падает на поверхность воды под критическим углом полного внутреннего отражения.$$R = H\tan\alpha_{\text{кр}}$$

Для границы вода–воздух показатель преломления воздуха принимаем равным единице. По формуле критического угла:$$\sin\alpha_{\text{кр}} = \frac{1}{n} = \frac{3}{4}$$

По оптической силе определяем фокусное расстояние рассеивающей линзы:$$f=\frac{1}{D}=\frac{1}{-10}\ \text{м}=-0{,}10\ \text{м}=-10\ \text{см}$$

Источник находится на полуторном фокусном расстоянии от линзы, поэтому расстояние до источника равно $a=1{,}5\cdot 10=15\ \text{см}$. По формуле тонкой линзы находим координату изображения:$$\frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b};\quad \frac{1}{b}=\frac{1}{-10}-\frac{1}{15}=-\frac{1}{6};\quad b=-6\ \text{см}$$

Оптическая сила линзы связана с фокусным расстоянием соотношением:$$D=\frac{1}{f}$$

Фокусное расстояние линзы равно:$$f=\frac{1}{10\ \text{м}^{-1}}=0{,}1\ \text{м}=10\ \text{см}$$

Так как изображение действительное и увеличенное, предмет расположен между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы: $20\ \text{см} < 36\ \text{см} < 40\ \text{см}$. Для построения используют луч, идущий параллельно главной оптической…

По формуле тонкой линзы найдём расстояние от линзы до изображения:$$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$$