Решение: Глубина бассейна по радиусу плота
На дне бассейна с водой находится небольшая лампочка. На поверхности воды плавает круглый плот — так, что центр плота находится точно над лампочкой. Определите глубину бассейна $H$, если минимальный радиус плота, при котором свет от лампочки не выходит из воды, $R = 2{,}4\ \text{м}$. Сделайте рисунок, поясняющий решение. Толщиной плота пренебречь. Показатель преломления воды $n = \dfrac{4}{3}$.
Решение по шагам
4 шагаЧтобы свет от лампочки не выходил из воды, плот должен закрывать всю область поверхности, через которую свет мог бы выйти. Граничный луч падает на поверхность воды под критическим углом полного внутреннего отражения.
$$R = H\tan\alpha_{\text{кр}}$$Для границы вода–воздух показатель преломления воздуха принимаем равным единице. По формуле критического угла:
$$\sin\alpha_{\text{кр}} = \frac{1}{n} = \frac{3}{4}$$Найдём тангенс критического угла:
$$\tan\alpha_{\text{кр}} = \frac{\sin\alpha_{\text{кр}}}{\sqrt{1-\sin^2\alpha_{\text{кр}}}} = \frac{3/4}{\sqrt{1-9/16}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$$Из геометрии предельного луча выразим глубину бассейна и подставим данные:
$$H = \frac{R}{\tan\alpha_{\text{кр}}} = \frac{2{,}4\sqrt{7}}{3}\ \text{м} \approx 2{,}1\ \text{м}$$Глубина бассейна $H \approx 2{,}1\ \text{м}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют угол преломления вместо критического угла.
Записывают $\sin\alpha_{\text{кр}} = n$ вместо $\sin\alpha_{\text{кр}} = 1/n$.
Связывают $R$ и $H$ через синус или косинус, хотя из рисунка следует $\tan\alpha_{\text{кр}} = R/H$.
Не показывают на рисунке лампочку, нормаль к поверхности воды и предельный луч.