Решение: Заряд конденсатора в контуре
Сила тока в идеальном колебательном контуре меняется со временем так, как показано на рисунке. Определите заряд конденсатора в момент времени $t = 3\ \text{мкс}$.
Решение по шагам
4 шагаПо графику амплитуда силы тока равна $I_{\max}=0{,}6\ \text{А}$. Период колебаний равен интервалу между соседними максимумами: $T=10-2=8\ \text{мкс}$.
$$T=8\cdot10^{-6}\ \text{с}$$Циклическая частота колебаний равна:
$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{8\cdot10^{-6}}=\frac{\pi}{4\cdot10^{-6}}\ \text{с}^{-1}$$Так как $I=\dfrac{dq}{dt}$, при зависимости $I=I_{\max}\sin(\omega t)$ заряд имеет вид:
$$q(t)=-\frac{I_{\max}}{\omega}\cos(\omega t)$$В момент $t=3\ \text{мкс}$ аргумент косинуса равен $\omega t=\dfrac{3\pi}{4}$, поэтому:
$$q=-\frac{0{,}6}{\pi/(4\cdot10^{-6})}\cos\frac{3\pi}{4}=\frac{2{,}4\cdot10^{-6}}{\pi}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx5{,}4\cdot10^{-7}\ \text{Кл}$$$q\approx5{,}4\cdot10^{-7}\ \text{Кл}$, или $0{,}54\ \text{мкКл}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют период $T=4\ \text{мкс}$ вместо полного периода $8\ \text{мкс}$.
Забывают, что сила тока является производной заряда по времени.
Не учитывают знак заряда при интегрировании зависимости силы тока.