Решение: Изображение треугольника линзой
Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой $2{,}5$ дптр так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла $C$ лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла $A$. Расстояние от центра линзы до точки $A$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, $AC = 4$ см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Решение по шагам
10 шаговОптическая сила линзы равна $D = 2{,}5$ дптр, поэтому фокусное расстояние линзы:
$$f = \frac{1}{D} = \frac{1}{2{,}5}\,\text{м} = 0{,}4\,\text{м} = 40\,\text{см}$$Точка $A$ расположена на расстоянии, равном удвоенному фокусному расстоянию:
$$a_A = 2f = 80\,\text{см}$$Так как $AC = 4$ см и точка $C$ находится ближе к линзе, чем точка $A$, расстояние от линзы до точек $B$ и $C$ равно:
$$a_C = a_B = 80 - 4 = 76\,\text{см}$$Точка $A$, находящаяся на расстоянии $2f$, изображается также на расстоянии $2f$ от линзы:
$$b_A = 80\,\text{см}$$Расстояние до изображения точки $C$ найдём по формуле тонкой линзы:
$$b_C = \frac{f a_C}{a_C - f} = \frac{40 \cdot 76}{76 - 40} = \frac{760}{9}\,\text{см}$$Изображение точки $B$ находится на таком же расстоянии, как изображение точки $C$, но располагается по другую сторону главной оптической оси, поскольку изображение перевёрнуто.
$$b_B = b_C = \frac{760}{9}\,\text{см}$$Горизонтальный катет получившейся фигуры равен расстоянию между изображениями точек $A$ и $C$:
$$A'C' = \frac{760}{9} - 80 = \frac{40}{9}\,\text{см}$$Линейное увеличение для точек $B$ и $C$ по модулю равно:
$$|\Gamma| = \frac{b_C}{a_C} = \frac{760/9}{76} = \frac{10}{9}$$Так как $BC = AC = 4$ см, длина вертикального катета изображения равна:
$$B'C' = |\Gamma| \cdot BC = \frac{10}{9} \cdot 4 = \frac{40}{9}\,\text{см}$$Изображение представляет собой прямоугольный треугольник, поэтому его площадь равна:
$$S = \frac{1}{2} A'C' \cdot B'C' = \frac{1}{2} \cdot \frac{40}{9} \cdot \frac{40}{9} = \frac{800}{81}\,\text{см}^2$$Площадь изображения треугольника равна $\dfrac{800}{81}\,\text{см}^2 \approx 9{,}9\,\text{см}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что точка $C$ находится точно в фокусе, не учитывая условие $AC = 4$ см.
Использовать для точек $B$ и $C$ расстояние $80$ см вместо $76$ см.
Не учитывать переворот изображения собирающей линзой.
Вычислять площадь исходного треугольника вместо площади его изображения.