Решение: Изображение треугольника линзой
Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ расположен перед тонкой линзой оптической силой $2{,}5\ \text{дптр}$ так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы. Вершина прямого угла $C$ лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла $A$. Расстояние от центра линзы до точки $C$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, $AC = 4\ \text{см}$. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Решение по шагам
5 шаговОптическая сила линзы равна $D = 2{,}5\ \text{дптр}$, поэтому фокусное расстояние составляет $f = \dfrac{1}{D} = 0{,}4\ \text{м} = 40\ \text{см}$.
$$f = \frac{1}{D} = 40\ \text{см}$$Точка $C$ находится на расстоянии $2f = 80\ \text{см}$ от линзы. Поэтому её изображение $C'$ находится на расстоянии $2f = 80\ \text{см}$ за линзой, а линейное увеличение для этой точки равно $-1$. Отрезок $BC$ длиной $4\ \text{см}$ изображается отрезком $B'C'$ такой же длины, но перевёрнутым.
$$a_C = 2f,\quad b_C = 2f = 80\ \text{см},\quad |B'C'| = |BC| = 4\ \text{см}$$Точка $A$ расположена на $4\ \text{см}$ дальше от линзы, чем точка $C$, поэтому $a_A = 84\ \text{см}$. По формуле тонкой линзы находим положение её изображения.
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{a_A} + \frac{1}{b_A},\quad b_A = \frac{f a_A}{a_A-f} = \frac{40\cdot84}{84-40} = \frac{840}{11}\ \text{см}$$Изображение треугольника имеет вершины $A'$, $B'$, $C'$. Его горизонтальный катет равен расстоянию между $A'$ и $C'$, а вертикальный катет равен $4\ \text{см}$.
$$A'C' = 80 - \frac{840}{11} = \frac{40}{11}\ \text{см}$$Площадь получившегося прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$$S = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot\frac{40}{11} = \frac{80}{11}\ \text{см}^2 \approx 7{,}3\ \text{см}^2$$Площадь изображения треугольника: $S = \dfrac{80}{11}\ \text{см}^2 \approx 7{,}3\ \text{см}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что точка $A$ также находится на расстоянии $2f$ от линзы.
Не учитывать, что изображение точки $B$ перевёрнуто относительно главной оптической оси.
Использовать расстояние $AC = 4\ \text{см}$ как горизонтальный катет изображения.
Забыть, что изображения точек $A$ и $C$ находятся на разных расстояниях от линзы.