Решение: Изображение прямоугольника линзой
Прямоугольник со сторонами $a = 20\ \text{см}$ и $b = 10\ \text{см}$ расположен в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой $D = 2\ \text{дптр}$ так, что две его стороны параллельны плоскости линзы. Расстояние от дальней стороны прямоугольника до плоскости линзы $d_1 = 70\ \text{см}$. Определите площадь изображения прямоугольника в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение прямоугольника в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.
Решение по шагам
7 шаговПереведём оптическую силу линзы в фокусное расстояние:
$$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{2}\ \text{м} = 0{,}5\ \text{м} = 50\ \text{см}$$Дальняя сторона находится на расстоянии $d_1 = 70\ \text{см}$ от линзы. По формуле тонкой линзы найдём расстояние до её изображения:
$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1},\qquad f_1 = \frac{F d_1}{d_1 - F} = \frac{50 \cdot 70}{70 - 50} = 175\ \text{см}$$Ближняя сторона находится на расстоянии $d_2 = d_1 - b = 70 - 10 = 60\ \text{см}$. Расстояние до её изображения равно:
$$f_2 = \frac{F d_2}{d_2 - F} = \frac{50 \cdot 60}{60 - 50} = 300\ \text{см}$$Линейное увеличение для дальней стороны равно $\Gamma_1 = \dfrac{f_1}{d_1} = 2{,}5$, поэтому соответствующая сторона изображения имеет длину:
$$a_1 = \Gamma_1 a = 2{,}5 \cdot 20 = 50\ \text{см}$$Для ближней стороны увеличение равно $\Gamma_2 = \dfrac{f_2}{d_2} = 5$, поэтому длина соответствующей стороны изображения:
$$a_2 = \Gamma_2 a = 5 \cdot 20 = 100\ \text{см}$$Изображение прямоугольника имеет форму трапеции. Расстояние между изображениями его дальней и ближней сторон равно $f_2 - f_1 = 125\ \text{см}$. Его площадь:
$$S = \frac{a_1 + a_2}{2}(f_2 - f_1) = \frac{50 + 100}{2} \cdot 125 = 9375\ \text{см}^2$$Для построения изображения следует провести для каждой вершины луч, параллельный главной оптической оси, после линзы направленный через дальний фокус, и луч через оптический центр линзы, не изменяющий направления. Пересечения преломлённых лучей задают вершины изображения.
Площадь изображения прямоугольника равна $9375\ \text{см}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют оптическую силу $D$ как фокусное расстояние без перехода к величине $F = 1/D$.
Для обеих сторон прямоугольника берут одинаковое линейное увеличение.
Считают изображение прямоугольником, хотя стороны, находящиеся на разных расстояниях от линзы, имеют разные увеличения.
Не учитывают, что изображение имеет форму трапеции.