Решение: Изображение квадрата тонкой линзой
Квадрат со стороной $a = 20\ \text{см}$ лежит в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой $D = 2{,}5\ \text{дптр}$ так, что одна из его диагоналей перпендикулярна главной оптической оси линзы. Расстояние от центра квадрата до плоскости линзы $d_1 = 80\ \text{см}$. Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.
Решение по шагам
8 шаговОптическая сила линзы равна $D = 2{,}5\ \text{дптр}$, поэтому фокусное расстояние:
$$f = \frac{1}{D} = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4\ \text{м}$$Половина диагонали квадрата равна $s = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$. Поэтому вершины диагонали, направленной вдоль главной оптической оси, находятся на расстояниях:
$$d_1-s = 0{,}8-\frac{0{,}2}{\sqrt{2}}\ \text{м},\qquad d_1+s = 0{,}8+\frac{0{,}2}{\sqrt{2}}\ \text{м}$$Расстояния от линзы до изображений этих двух вершин определяются формулой тонкой линзы:
$$f'_\pm = \frac{f(d_1\pm s)}{d_1\pm s-f}$$Длина диагонали изображения, лежащей вдоль главной оптической оси, равна разности расстояний до изображений крайних вершин:
$$\Delta x = \left|\frac{f(d_1+s)}{d_1+s-f}-\frac{f(d_1-s)}{d_1-s-f}\right| = \frac{2f^2s}{f^2-s^2} \approx 0{,}323\ \text{м}$$Вершины второй диагонали находятся на одинаковом расстоянии $d_1$ от линзы. Для них линейное увеличение по модулю равно:
$$|\Gamma| = \frac{f'}{d_1} = \frac{0{,}8}{0{,}8}=1$$Следовательно, вторая диагональ изображения имеет длину, равную исходной диагонали квадрата:
$$\Delta y = a\sqrt{2}=0{,}2\sqrt{2}\approx 0{,}283\ \text{м}$$Изображение является четырёхугольником с перпендикулярными диагоналями, поэтому его площадь равна:
$$S'=\frac{\Delta x\Delta y}{2}=\frac{0{,}323\cdot0{,}283}{2}\approx 0{,}0457\ \text{м}^2$$На рисунке нужно построить изображения всех четырёх вершин квадрата. Для каждой вершины достаточно провести луч, идущий параллельно главной оптической оси и после линзы проходящий через фокус, а также луч через оптический центр линзы, не меняющий направления.
Площадь изображения квадрата $S' \approx 0{,}0457\ \text{м}^2 \approx 457\ \text{см}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют расстояние от линзы до центра квадрата для всех вершин, не учитывая смещение вершин вдоль главной оптической оси.
Считают изображение квадрата подобным исходному квадрату.
Не учитывают, что для вершин, лежащих на разных расстояниях от линзы, получаются разные расстояния до изображения.
На рисунке проводят только один луч и не показывают построение всех вершин изображения.