Бейінді математика ЕГЭ — ФИПИ тапсырмаларының жауаптарымен шешімдері

Объём конуса в шаре

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 60. Найдите объём конуса.

1. 1
   Обозначим радиус шара и радиус основания конуса через $R$. Так как радиус основания конуса равен радиусу шара, плоскость основания проходит через центр шара, поэтому высота конуса равна $R$.$$r=R,\quad h=R$$
2. 2
   Найдём отношение объёма конуса к объёму шара.$$\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{1}{4}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 15.

1. 1
   Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия. Высота призмы у отсечённой и исходной призм одинакова, поэтому так же относятся и их объёмы.$$\frac{V_{\text{отсечённой}}}{V} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объёмы цилиндра и конуса

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 12. Найдите объём цилиндра.

1. 1
   Объём цилиндра с площадью основания $S$ и высотой $h$ равен $Sh$, а объём конуса с теми же основанием и высотой — $\dfrac{1}{3}Sh$.$$V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3}V_{\text{ц}}$$
2. 2
   Следовательно, объём цилиндра в три раза больше объёма конуса.$$V_{\text{ц}} = 3 \cdot 12 = 36$$

Объём треугольной призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.

1. 1
   Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.
2. 2
   Площадь основания отсечённой призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы, поскольку площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия.$$\frac{S_{\text{отс}}}{S_{\text{исх}}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности шара

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 21. Найдите площадь поверхности шара.

1. 1
   Пусть $r$ — радиус шара и цилиндра. Так как шар вписан в цилиндр, высота цилиндра равна $2r$.$$h = 2r$$
2. 2
   Найдём площадь полной поверхности цилиндра:$$S_{\text{цил}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной призмы

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 8$, $BC = 7$, $AA_1 = 6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$.

1. 1
   Основанием многогранника является треугольник $ABC$, а высотой треугольной призмы — ребро $AA_1$.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$$
2. 2
   Найдём площадь основания.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной призмы

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=7$, $BC=6$, $AA_1=5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$.

1. 1
   Точки $A$, $B$, $C$ образуют треугольное основание призмы, а точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельное ему основание.
2. 2
   Так как $ABCD$ — прямоугольник, стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны. Площадь треугольника $ABC$ равна:$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 6=21$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём тетраэдра в параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 6$, $BC = 5$, $AA_1 = 4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.

1. 1
   Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $B_1$ является тетраэдром. Возьмём за основание треугольник $ABC$.
2. 2
   Треугольник $ABC$ прямоугольный, так как $AB \perp BC$. Найдём его площадь:$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5=15$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём шара в цилиндре

Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.

1. 1
   Пусть $r$ — радиус шара и радиус основания цилиндра. Цилиндр описан около шара, поэтому его высота равна диаметру шара: $h = 2r$.$$h = 2r$$
2. 2
   Запишем объём цилиндра и используем условие тапсырма:$$V_{\text{цил}} = \pi r^2h = 2\pi r^3 = 18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём многогранника призмы

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $9$.

1. 1
   Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $C_1$ является пирамидой с основанием $ABC$.$$S_{\text{осн}} = 6$$
2. 2
   Высота пирамиды равна боковому ребру правильной призмы.$$h = CC_1 = 9$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём цилиндра по объёму конуса

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём конуса равен 9. Найдите объём цилиндра.

1. 1
   Объёмы цилиндра и конуса с одинаковыми основанием и высотой выражаются формулами:$$V_{\text{ц}} = S h,\quad V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3} S h$$
2. 2
   Следовательно, объём цилиндра в три раза больше объёма конуса:$$V_{\text{ц}} = 3V_{\text{к}} = 3 \cdot 9 = 27$$

Боковая поверхность конуса

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

1. 1
   Обозначим радиус основания через $r$. По условию высота цилиндра равна радиусу: $h=r$.$$h=r$$
2. 2
   Найдём образующую конуса по теореме Пифагора:$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём описанного параллелепипеда

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

1. 1
   Основание цилиндра — круг радиуса 2, вписанный в квадратное основание параллелепипеда. Сторона квадрата равна диаметру круга:$$a = 2r = 2 \cdot 2 = 4$$
2. 2
   Высота параллелепипеда совпадает с высотой цилиндра и равна 2.$$h = 2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём конуса по цилиндру

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 18. Найдите объём конуса.

1. 1
   Запишем формулы объёмов цилиндра и конуса с одинаковыми радиусом основания и высотой.$$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h,\quad V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Следовательно, объём конуса в три раза меньше объёма цилиндра.$$V_{\text{кон}} = \frac{V_{\text{цил}}}{3} = \frac{18}{3} = 6$$

Радиус сферы около конуса

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $9\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

1. 1
   Обозначим радиус сферы и радиус основания конуса через $R$. Так как центр сферы совпадает с центром основания, расстояние от него до вершины конуса, то есть высота конуса, также равно $R$.$$h=R$$
2. 2
   По теореме Пифагора для образующей конуса:$$l^2=R^2+h^2=R^2+R^2=2R^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Образующая конуса и сфера

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $84\sqrt{2}$. Найдите длину образующей…

1. 1
   Окружность основания конуса лежит на сфере, а центр сферы находится в центре основания. Поэтому радиус основания конуса равен радиусу сферы:$$r=84\sqrt{2}$$
2. 2
   Вершина конуса также лежит на сфере, поэтому расстояние от центра основания до вершины, то есть высота конуса, равно радиусу сферы:$$h=84\sqrt{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём цилиндра по объёму конуса

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём конуса равен 6. Найдите объём цилиндра.

1. 1
   При одинаковых основании и высоте объём конуса составляет одну треть объёма цилиндра.$$V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3}V_{\text{ц}}$$
2. 2
   Выразим объём цилиндра и подставим известное значение.$$V_{\text{ц}} = 3V_{\text{к}} = 3 \cdot 6 = 18$$

Объём многогранника в призме

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $B_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $3$, а боковое ребро равно $8$.

1. 1
   Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $B_1$ является треугольной пирамидой с основанием $ABC$.$$S_{ABC}=3$$
2. 2
   Высота пирамиды равна расстоянию от точки $B_1$ до плоскости основания $ABC$. Это расстояние равно боковому ребру призмы.$$h=BB_1=8$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь боковой поверхности призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 18. Найдите площадь боковой…

1. 1
   Средняя линия треугольника отсекает треугольник, стороны которого в 2 раза меньше соответствующих сторон исходного треугольника.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Периметр отсечённого треугольного основания в 2 раза меньше периметра исходного. Высота призмы сохраняется, поэтому площадь боковой поверхности также в 2 раза меньше.$$S_{\text{отс}}=\frac{1}{2}S_{\text{исх}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Боковые поверхности тел вращения

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1. 1
   Так как высота цилиндра равна радиусу основания, обозначим их через $r$: $h=r$. Образующая конуса равна$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$$
2. 2
   Площадь боковой поверхности конуса по условию равна $3\sqrt{2}$:$$\pi r l=\pi r\cdot r\sqrt{2}=\pi r^2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде