Даны векторы $\vec{a} = (1; 3)$ и $\vec{b} = (3; -1)$. Найдите длину вектора $6\vec{a} + 2\vec{b}$.
- 1
Найдём координаты вектора $6\vec{a} + 2\vec{b}$:$$6\vec{a} + 2\vec{b} = 6(1;3) + 2(3;-1) = (6+6;18-2) = (12;16)$$
- 2
Вычислим длину полученного вектора:$$|6\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144+256} = \sqrt{400} = 20$$
Даны векторы $\vec{a}=(5;\,-7)$ и $\vec{b}=(14;\,1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.
- 1
Используем формулу скалярного произведения векторов по координатам.$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$$
- 2
Подставим координаты данных векторов:$$\vec{a}\cdot\vec{b}=5\cdot14+(-7)\cdot1=70-7=63$$
Даны векторы $\vec a(6;\,4)$ и $\vec b(6;\,-8)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.
- 1
Скалярное произведение векторов с координатами $\vec a(x_1; y_1)$ и $\vec b(x_2; y_2)$ вычисляется как сумма произведений соответствующих координат.$$\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2$$
- 2
Подставим координаты данных векторов.$$\vec a \cdot \vec b = 6 \cdot 6 + 4 \cdot (-8) = 36 - 32 = 4$$
Даны векторы $\vec{a} = (31; 0)$ и $\vec{b} = (1; -1)$. Найдите длину вектора $\vec{a} - 24\vec{b}$.
- 1
Вычислим координаты вектора $\vec{a} - 24\vec{b}$:$$\vec{a} - 24\vec{b} = (31; 0) - 24(1; -1) = (31 - 24; 0 + 24) = (7; 24)$$
- 2
Найдём длину полученного вектора:$$|\vec{a} - 24\vec{b}| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$
Даны векторы $\vec{a}=(2;\,0)$ и $\vec{b}=(1;\,4)$. Найдите длину вектора $\vec{a}+3\vec{b}$.
- 1
Найдём координаты суммы векторов:$$\vec{a}+3\vec{b}=(2;0)+3(1;4)=(2+3;0+12)=(5;12)$$
- 2
Вычислим длину полученного вектора:$$|\vec{a}+3\vec{b}|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$
Даны векторы $\vec a = (1; 1)$ и $\vec b = (0; 7)$. Найдите длину вектора $8\vec a + \vec b$.
- 1
Найдём координаты вектора $8\vec a + \vec b$:$$8\vec a + \vec b = 8(1;1) + (0;7) = (8;8) + (0;7) = (8;15)$$
- 2
Вычислим длину полученного вектора:$$|8\vec a + \vec b| = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$
Даны векторы $\vec{a} = (1; 2)$ и $\vec{b} = (2; -1)$. Найдите длину вектора $8\vec{a} + 4\vec{b}$.
- 1
Вычислим координаты вектора $8\vec{a} + 4\vec{b}$:$$8\vec{a} + 4\vec{b} = 8(1;2) + 4(2;-1) = (8;16) + (8;-4) = (16;12)$$
- 2
Найдём длину полученного вектора:$$\lvert 8\vec{a} + 4\vec{b} \rvert = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$$
На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Для вычисления скалярного произведения необходимо считать с рисунка координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
- 2
После этого применяется формула скалярного произведения векторов на координатной плоскости.$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$$
Даны векторы $\vec a = (14; -2)$ и $\vec b = (5; -8)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.
- 1
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec a \cdot \vec b = x_a x_b + y_a y_b$$
- 2
Подставим координаты данных векторов.$$\vec a \cdot \vec b = 14 \cdot 5 + (-2) \cdot (-8) = 70 + 16 = 86$$
Даны векторы $\vec{a} = (5;\ 4)$ и $\vec{b} = (8;\ -9)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
- 2
Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 8 + 4 \cdot (-9) = 40 - 36 = 4$$
Даны векторы $\vec{a} = (1; 1)$ и $\vec{b} = (1; -1)$. Найдите длину вектора $14\vec{a} + 2\vec{b}$.
- 1
Найдём координаты заданного вектора:$$14\vec{a} + 2\vec{b} = 14(1;1) + 2(1;-1) = (16;12)$$
- 2
Вычислим длину вектора по формуле длины вектора на координатной плоскости:$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{16^2+12^2} = \sqrt{400} = 20$$
Даны векторы $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (4; -3)$. Найдите длину вектора $4\vec{a} + 3\vec{b}$.
- 1
Найдём координаты вектора $4\vec{a} + 3\vec{b}$:$$4\vec{a} + 3\vec{b} = 4(3;4) + 3(4;-3) = (12;16) + (12;-9) = (24;7)$$
- 2
Вычислим длину полученного вектора:$$|4\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$$
Даны векторы $\vec{a} = (-3; 5)$ и $\vec{b} = (1; 13)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$$
- 2
Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 1 + 5 \cdot 13 = -3 + 65 = 62$$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 7$, $BC = 6$, $AA_1 = 5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.
- 1
Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $B_1$ является треугольной пирамидой с основанием $ABC$.
- 2
Основание $ABC$ — прямоугольный треугольник с катетами $AB = 7$ и $BC = 6$.$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 = 21$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 24.
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия, поэтому площадь отсечённого основания составляет четверть площади исходного основания.$$\frac{S_{\text{отсеч}}}{S_{\text{осн}}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 5.
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Площадь отсечённого треугольника, а значит и объём отсечённой призмы, составляет четверть площади основания и объёма исходной призмы.$$\frac{V_{\text{отр}}}{V} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
- 1
Пусть $r$ — радиус общего основания. Высота цилиндра и конуса равна $r$.$$h=r$$
- 2
Найдём образующую конуса по теореме Пифагора.$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.
- 1
Обозначим радиус шара и радиус основания конуса через $R$. Так как радиус основания равен радиусу шара, плоскость основания проходит через центр шара. Поэтому высота конуса равна $R$.$$h=R$$
- 2
Запишем объёмы конуса и шара.$$V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi R^3,\quad V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 30. Найдите площадь поверхности шара.
- 1
Так как шар вписан в цилиндр, радиус основания цилиндра равен радиусу шара $r$, а высота цилиндра равна диаметру шара: $h = 2r$.$$h = 2r$$
- 2
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:$$S_{\text{цил}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой…
- 1
Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Поэтому его периметр в 2 раза меньше периметра исходного основания.$$P_{\text{нов}}=\frac{1}{2}P_{\text{исх}}$$
- 2
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра. Длина бокового ребра при отсечении не изменяется, поэтому площадь боковой поверхности также уменьшается в 2 раза.$$S_{\text{нов}}=\frac{1}{2}S_{\text{исх}}=\frac{24}{2}=12$$