Площадь треугольника $ABC$ равна 24, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь треугольника $CDE$.
- 1
Поскольку $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$, она параллельна $AB$ и равна половине этой стороны. Поэтому треугольники $CDE$ и $CAB$ подобны с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
- 2
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия.$$\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x-5}=\dfrac{1}{16}$.
- 1
Представим число $\dfrac{1}{16}$ как степень числа $\dfrac{1}{4}$:$$\dfrac{1}{16}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^2$$
- 2
Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$x-5=2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $32^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Угол $ACB$ — вписанный и опирается на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше:$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными:$$\angle AOD = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{91}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{91})^2} = \sqrt{100 - 91} = 3$$
- 2
Для угла $A$ синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $61^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на одну дугу $AB$. Центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB = 2\angle ACB = 2\cdot61^\circ = 122^\circ$$
- 2
Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ образуют развернутый угол.$$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$
Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 7, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha$$
- 2
Подставим длины векторов и значение угла:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 21 \cdot \frac{1}{2} = 10{,}5$$
На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Для вычисления скалярного произведения необходимо знать координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
- 2
На предоставленном изображении координатная плоскость с изображением векторов отсутствует, поэтому координаты векторов и численное значение произведения определить невозможно.$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$$
Даны векторы $\vec{a} = (-13; 4)$ и $\vec{b} = (-6; 1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
- 2
Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-13) \cdot (-6) + 4 \cdot 1 = 78 + 4 = 82$$
Даны векторы $\vec{a} = (6; 4)$ и $\vec{b} = (5; -7)$. Найдите их скалярное произведение.
- 1
Скалярное произведение векторов с координатами $(a_x; a_y)$ и $(b_x; b_y)$ вычисляется как сумма произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y$$
- 2
Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 5 + 4 \cdot (-7) = 30 - 28 = 2$$
Даны векторы $\vec{a} = (7; 9)$ и $\vec{b} = (8; -6)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
- 2
Подставим координаты данных векторов:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 8 + 9 \cdot (-6) = 56 - 54 = 2$$
Даны векторы $\vec{a}=(1;5)$ и $\vec{b}=(5;-1)$. Найдите длину вектора $5\vec{a}+\vec{b}$.
- 1
Найдём координаты линейной комбинации данных векторов.$$5\vec{a}+\vec{b}=5(1;5)+(5;-1)=(5;25)+(5;-1)=(10;24)$$
- 2
Вычислим длину полученного вектора.$$|5\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$$
Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 5, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\alpha$$
- 2
Подставим длины векторов и величину угла:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7{,}5$$
Даны векторы $\vec{a}=(2;\,2)$ и $\vec{b}=(2;\,-2)$. Найдите длину вектора $7\vec{a}+\vec{b}$.
- 1
Найдём координаты линейной комбинации векторов:$$7\vec{a}+\vec{b}=7(2;2)+(2;-2)=(14;14)+(2;-2)=(16;12)$$
- 2
Вычислим длину полученного вектора:$$|7\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$$
На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec a + \vec b$.
- 1
На предоставленном изображении координатная плоскость с векторами отсутствует, поэтому координаты $\vec a$ и $\vec b$ определить невозможно.
- 2
После получения координат используется формула длины вектора суммы:$$\lvert\vec a+\vec b\rvert=\sqrt{(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2}$$
Даны векторы $\vec a = (25; 0)$ и $\vec b = (1; -5)$. Найдите длину вектора $\vec a - 4\vec b$.
- 1
Найдём координаты вектора $\vec a - 4\vec b$:$$\vec a - 4\vec b = (25;0) - 4(1;-5) = (25-4;0+20) = (21;20)$$
- 2
Вычислим длину полученного вектора:$$|\vec a - 4\vec b| = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441+400} = \sqrt{841} = 29$$
Даны векторы $\vec a=(2;\,1)$ и $\vec b=(2;\,-4)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec a+\vec b$ и $7\vec a-\vec b$.
- 1
Найдём координаты суммы векторов:$$\vec a+\vec b=(2+2;\,1-4)=(4;\,-3)$$
- 2
Найдём координаты второго вектора:$$7\vec a-\vec b=(14;\,7)-(2;\,-4)=(12;\,11)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны векторы $\vec{a} = (8;\ 9)$ и $\vec{b} = (4;\ -3)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
- 2
Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 4 + 9 \cdot (-3) = 32 - 27 = 5$$
На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec a + 4\vec b$.
- 1
Для вычисления длины необходимо знать координаты векторов $\vec a$ и $\vec b$.
- 2
На предоставленном изображении координатная плоскость и сами векторы не отображены, поэтому координаты определить невозможно.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны векторы $\vec{a}(6;\ 9)$ и $\vec{b}(8;\ -5)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- 1
Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
- 2
Подставим координаты данных векторов:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 8 + 9 \cdot (-5) = 48 - 45 = 3$$
Даны векторы $\vec{a} = (1;\,2)$ и $\vec{b} = (2;\,-1)$. Найдите длину вектора $6\vec{a} + 3\vec{b}$.
- 1
Найдём координаты линейной комбинации данных векторов.$$6\vec{a} + 3\vec{b} = 6(1;2) + 3(2;-1) = (6;12) + (6;-3) = (12;9)$$
- 2
Вычислим длину вектора по формуле длины вектора на плоскости.$$|6\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$