ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Дәрежелер, түбірлер, логарифмдер» — жауаптарымен

Сәйкестік чисел и отрезков

Число $m$ равно $\log_{4}6$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Поскольку $4^1<6<4^2$, имеем $1<m<2$. Более точно, $m\approx1{,}29$.$$m=\log_4 6\approx1{,}29$$
2. 2
   Вычислим первое выражение: $m-2\approx-0{,}71$, поэтому оно принадлежит отрезку $[-1;0]$.$$m-2\in[-1;0]$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Показательные неравенства

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. 1
   Представим правую часть в виде степени с тем же основанием: $3=3^1$.$$3^x \ge 3^1 \Longrightarrow x\ge1$$
2. 2
   Для неравенства Б преобразуем основание: $\left(\frac{1}{3}\right)^x=3^{-x}$. Показательная функция с основанием $3>1$ возрастает.$$3^{-x}\ge3^1 \Longrightarrow -x\ge1 \Longrightarrow x\le-1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Числа и отрезки

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Так как $5^1=5<20<25=5^2$, получаем $1<\log_5 20<2$. Числу А соответствует отрезок 2.$$А: \log_5 20\in[1;2]$$
2. 2
   Сравним дробь с числами 2 и 3: $2=\dfrac{26}{13}<\dfrac{29}{13}<\dfrac{39}{13}=3$. Числу Б соответствует отрезок 3.$$Б: \dfrac{29}{13}\in[2;3]$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сәйкестік чисел и отрезков

Число $m$ равно $\log_{4}6$. Установите соответствие между числами и отрезками, которым они принадлежат.

1. 1
   Оценим число $m$. Поскольку $4^1<6<4^2$, при основании логарифма $4>1$ имеем:$$1<\log_4 6<2$$
2. 2
   Вычитаем 2 из всех частей неравенства:$$-1<m-2<0$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Сопоставление чисел и точек

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

1. 1
   Оценим первое выражение: $2\sqrt{2}-\sqrt{3}\approx2\cdot1{,}414-1{,}732\approx1{,}10$. Оно соответствует точке $B$.$$2\sqrt{2}-\sqrt{3}\approx1{,}10$$
2. 2
   Второе выражение упрощается до корня из шести: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx2{,}45$. Оно соответствует точке $C$.$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\approx2{,}45$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Логарифмические неравенства

Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.

1. 1
   Так как основание $0{,}5$ находится между нулём и единицей, логарифмическая функция убывает. Область определения всех неравенств: $x>0$.$$0<0{,}5<1$$
2. 2
   Для неравенства А при переходе к показательной форме знак меняется:$$\log_{0,5}x\ge 1 \Longleftrightarrow x\le (0{,}5)^1=\frac12$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Сәйкестік логарифмических выражений

Число $m$ равно $\log_2 5$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Поскольку $2^2<5<2^3$, имеем $2<m<3$. Более точно, $m\approx2{,}32$.
2. 2
   Для первого числа: $m-2\approx2{,}32-2=0{,}32$, поэтому оно принадлежит отрезку $[0;1]$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Четвёртая степень числа

Найдите четырёхзначное число, которое в 9 раз меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Пусть искомое число равно $x$, а натуральное число — $n$. По условию $x$ в 9 раз меньше четвёртой степени числа $n$:$$x=\dfrac{n^4}{9}$$
2. 2
   Возьмём $n=12$. Тогда четвёртая степень равна:$$12^4=20736$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четвёртая степень и деление

Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Пусть искомое натуральное число равно $n$. Тогда искомое четырёхзначное число равно $\dfrac{n^4}{3}$.
2. 2
   Проверим натуральное число $n = 9$:$$\dfrac{9^4}{3} = \dfrac{6561}{3} = 2187$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Куб натурального числа

Найдите четырёхзначное число, которое в 14 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Пусть искомое четырёхзначное число равно $m$. По условию $14m=n^3$, где $n$ — натуральное число.
2. 2
   Подберём натуральное число $n$, куб которого делится на $14$ и после деления даёт четырёхзначное число. Подходит $n=28$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 148, во втором — 108, в третьем — 70, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$148+108+70=326$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 26 и меньшее 29. Поэтому сумма каждой строки равна 27 или 28.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое семи различных натуральных чисел равно 10. Среднее арифметическое этих чисел и восьмого числа равно 11. Чему равно восьмое число?

1. 1
   Сумма семи чисел равна произведению их количества на среднее арифметическое:$$S_7 = 7 \cdot 10 = 70$$
2. 2
   Сумма сегіз чисел равна:$$S_8 = 8 \cdot 11 = 88$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 16 - \log_2 4$.

1. 1
   Представим числа под знаками логарифмов как степени двойки.$$16 = 2^4, \quad 4 = 2^2$$
2. 2
   Вычислим логарифмы и найдём их разность.$$\log_2 16 - \log_2 4 = 4 - 2 = 2$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_2(\log_9 81)$.

1. 1
   Представим число $81$ в виде степени основания внутреннего логарифма:$$81 = 9^2$$
2. 2
   Вычислим внутренний логарифм:$$\log_9 81 = \log_9 9^2 = 2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{-4} \cdot 3^2}{3^{-7}}$.

1. 1
   Объединим степени с одинаковым основанием в одну степень:$$\dfrac{3^{-4} \cdot 3^2}{3^{-7}} = 3^{-4+2-(-7)}$$
2. 2
   Вычислим показатель степени:$$-4+2-(-7)=5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{4-3x} \cdot 5^{8x-2} = \dfrac{1}{125}$.

1. 1
   Преобразуем правую часть уравнения:$$\dfrac{1}{125}=5^{-3}$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$5^{4-3x} \cdot 5^{8x-2}=5^{(4-3x)+(8x-2)}=5^{2+5x}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{15} 5 + \log_{15} 45$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$$
2. 2
   Объединим логарифмы в один:$$\log_{15} 5 + \log_{15} 45 = \log_{15}(5 \cdot 45) = \log_{15} 225$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{-5-x}=8$.

1. 1
   Представим основание и правую часть уравнения в виде степеней двойки:$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-5-x}=\left(2^{-1}\right)^{-5-x}=2^{5+x},\quad 8=2^3$$
2. 2
   Так как основания степеней равны, приравняем показатели:$$5+x=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $4^{3x-4}=16$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $4$:$$16=4^2$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравниваем показатели:$$3x-4=2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Умножение степеней он

Найдите значение выражения $(3 \cdot 10^{-5}) \cdot (2{,}5 \cdot 10^2)$.

1. 1
   Перемножим числовые коэффициенты и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием.$$(3 \cdot 2{,}5) \cdot 10^{-5+2}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$7{,}5 \cdot 10^{-3} = 0{,}0075$$