Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{2x-6} \cdot 3^{7-x} = 81$.

1. 1
   Преобразуем произведение степеней с одинаковым основанием:$$3^{2x-6} \cdot 3^{7-x}=3^{(2x-6)+(7-x)}=3^{x+1}$$
2. 2
   Представим правую часть как степень числа $3$:$$81=3^4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $11^{4x+3} : 11^{2x+5} = 121$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $11$:$$121=11^2$$
2. 2
   Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:$$11^{4x+3}:11^{2x+5}=11^{(4x+3)-(2x+5)}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{1,3}(4x+6)-\log_{1,3}2=\log_{1,3}12$.

1. 1
   Объединим логарифмы в левой части уравнения:$$\log_{1,3}\dfrac{4x+6}{2}=\log_{1,3}12$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем аргументы:$$\dfrac{4x+6}{2}=12$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $4^{5-x}=16^{2x-6}$.

1. 1
   Представим число $16$ как степень числа $4$:$$16^{2x-6}=(4^2)^{2x-6}=4^{4x-12}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы и больше единицы, поэтому приравняем показатели:$$5-x=4x-12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{3x+4} \cdot 2^{5-2x} = 64$.

1. 1
   Преобразуем произведение степеней с одинаковым основанием:$$2^{3x+4} \cdot 2^{5-2x} = 2^{(3x+4)+(5-2x)} = 2^{x+9}$$
2. 2
   Представим число $64$ как степень числа $2$ и приравняем показатели:$$2^{x+9} = 64 = 2^6 \Rightarrow x+9=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-19}=\frac{1}{27}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень с основанием $\frac{1}{3}$:$$\frac{1}{27}=\left(\frac{1}{3}\right)^3$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$2x-19=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{8-3x}=\left(\dfrac{1}{16}\right)^{x+9}$.

1. 1
   Представим дробь $\dfrac{1}{16}$ как степень двойки:$$\dfrac{1}{16}=2^{-4}$$
2. 2
   Преобразуем правую часть уравнения:$$\left(\dfrac{1}{16}\right)^{x+9}=\left(2^{-4}\right)^{x+9}=2^{-4x-36}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-5}=\left(\frac{1}{8}\right)^{x+7}$.

1. 1
   Преобразуем правую часть, представив основание $\frac{1}{8}$ как степень основания $\frac{1}{2}$:$$\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^3$$
2. 2
   Получаем равенство степеней с одинаковым основанием, поэтому приравниваем показатели:$$2x-5=3(x+7)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{7}\right)^{x-5}=49$.

1. 1
   Представим основание дроби и число $49$ как степени числа $7$.$$\left(\dfrac{1}{7}\right)^{x-5}=7^{-(x-5)},\quad 49=7^2$$
2. 2
   Так как основания степеней равны, приравняем показатели.$$-(x-5)=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{4x-13}=\dfrac{1}{64}$.

1. 1
   Представим правую часть как степень с основанием $\dfrac{1}{4}$:$$\dfrac{1}{64}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$4x-13=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{9}(2x - 13) + \log_{9}7 = \log_{9}14$.

1. 1
   Объединим логарифмы в левой части по формуле суммы логарифмов.$$\log_{9}(2x-13)+\log_{9}7=\log_{9}(7(2x-13))$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем их аргументы.$$7(2x-13)=14$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{7x+4} : \left(\frac{1}{3}\right)^{-5x+3} = \frac{1}{81}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $\frac{1}{3}$:$$\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{3}\right)^4$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием и приравняем показатели:$$\left(\frac{1}{3}\right)^{(7x+4)-(-5x+3)}=\left(\frac{1}{3}\right)^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5x-9}=\dfrac{1}{64}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $\dfrac{1}{2}$:$$\dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{2^6}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^6$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$5x-9=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{8}\right)^{4-x}=64$.

1. 1
   Представим левую и правую части уравнения как степени двойки:$$\left(\frac{1}{8}\right)^{4-x}=\left(2^{-3}\right)^{4-x}=2^{-3(4-x)},\quad 64=2^6$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$-3(4-x)=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{6x+3}\cdot 2^{5-4x}=32$.

1. 1
   Представим число $32$ как степень числа $2$:$$32=2^5$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$2^{6x+3}\cdot 2^{5-4x}=2^{(6x+3)+(5-4x)}=2^{2x+8}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{6}\right)^{4x-6}=\dfrac{1}{36}$.

1. 1
   Представим правую часть как степень с основанием $\dfrac{1}{6}$:$$\dfrac{1}{36}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$4x-6=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{7}(2x+3)=1$.

1. 1
   По определению логарифма преобразуем уравнение:$$2x+3=7^1$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$2x+3=7,\quad 2x=4,\quad x=2$$

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{13}(-4x+23)=2$.

1. 1
   Перейдём от логарифмической формы уравнения к показательной:$$-4x+23=13^2$$
2. 2
   Вычислим значение степени и решим линейное уравнение:$$-4x+23=169$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{3-x} = 2^{5-2x}$.

1. 1
   Основания степеней одинаковы и равны $2$, поэтому приравняем показатели.$$3-x=5-2x$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение.$$3+x=5\quad\Rightarrow\quad x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-9}=\dfrac{1}{9}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень с основанием $\dfrac{1}{3}$:$$\dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравниваем показатели:$$x-9=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении