ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Дәрежелер, түбірлер, логарифмдер» — жауаптарымен

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}=27$.

1. 1
   Преобразуем левую часть и число $27$ к основанию $3$:$$\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x}=3^{-(1-x)}=3^{x-1},\quad 27=3^3$$
2. 2
   Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:$$x-1=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{0,4}(4x+10)-\log_{0,4}\frac{1}{5}=\log_{0,4}8$.

1. 1
   ОДЗ уравнения: аргумент первого логарифма должен быть положительным.$$4x+10>0$$
2. 2
   Объединим разность логарифмов в логарифм частного.$$\log_{0,4}\frac{4x+10}{1/5}=\log_{0,4}8$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3-x}=4$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\dfrac{1}{2}$:$$4=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$-3-x=-2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $4^{x-6}=64$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $4$:$$64=4^3$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$x-6=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{11}\right)^{2x+4}=11^{3x-5}$.

1. 1
   Преобразуем левую часть уравнения:$$\left(\dfrac{1}{11}\right)^{2x+4}=11^{-(2x+4)}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы и не равны единице, поэтому приравниваем показатели:$$-(2x+4)=3x-5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $4^{4x-4} : 4^{3x-1} = 1$.

1. 1
   Преобразуем частное степеней с одинаковым основанием:$$4^{4x-4} : 4^{3x-1} = 4^{(4x-4)-(3x-1)} = 4^{x-3}$$
2. 2
   Приравниваем показатель степени к нулю, поскольку $4^t=1$ только при $t=0$:$$x-3=0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{5-x}=64$.

1. 1
   Преобразуем левую часть и число $64$ к основанию $4$.$$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{5-x}=\left(4^{-1}\right)^{5-x}=4^{x-5},\qquad 64=4^3$$
2. 2
   Так как основания степеней равны, приравниваем показатели.$$x-5=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $9^{4x+1} \cdot 9^{3-2x} = 81$.

1. 1
   Представим число $81$ как степень числа $9$: $81=9^2$.$$9^{4x+1} \cdot 9^{3-2x} = 9^2$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием.$$9^{(4x+1)+(3-2x)}=9^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{9}(34 - 3x) = \log_{9}7$.

1. 1
   Так как основания логарифмов одинаковы и основание $9 > 0$, $9 \ne 1$, приравняем аргументы.$$34 - 3x = 7$$
2. 2
   Решим полученное уравнение.$$3x = 34 - 7 = 27$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $7^{2+x} \cdot 7^{4-5x} = \dfrac{1}{49}$.

1. 1
   Представим правую часть как степень числа $7$:$$\dfrac{1}{49}=\dfrac{1}{7^2}=7^{-2}$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$7^{2+x}\cdot 7^{4-5x}=7^{(2+x)+(4-5x)}=7^{6-4x}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{5-x}=125$.

1. 1
   Преобразуем левую часть уравнения:$$\left(\frac{1}{5}\right)^{5-x}=5^{-(5-x)}=5^{x-5}$$
2. 2
   Представим число $125$ в виде степени числа $5$:$$125=5^3$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{5x+2} : \left(\dfrac{1}{4}\right)^{3x+4} = \dfrac{1}{64}$.

1. 1
   Преобразуем левую часть по правилу деления степеней с одинаковым основанием:$$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{5x+2} : \left(\dfrac{1}{4}\right)^{3x+4}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{(5x+2)-(3x+4)}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2x-2}$$
2. 2
   Представим правую часть как степень с основанием $\dfrac{1}{4}$:$$\dfrac{1}{64}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{21-2x}=25^{3x+7}$.

1. 1
   Представим основания обеих степеней через число $5$:$$\left(\frac{1}{5}\right)^{21-2x}=\left(5^{-1}\right)^{21-2x}=5^{-21+2x},\quad 25^{3x+7}=\left(5^2\right)^{3x+7}=5^{6x+14}$$
2. 2
   Так как основания одинаковы, приравняем показатели степеней:$$-21+2x=6x+14$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{3}(2x - 5) = 2$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$2x - 5 = 3^2$$
2. 2
   Вычисляем степень и находим значение $x$:$$2x - 5 = 9,\quad 2x = 14,\quad x = 7$$

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $5^{2x+3} \cdot 5^{2x-6} = \dfrac{1}{625}$.

1. 1
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$5^{2x+3} \cdot 5^{2x-6}=5^{(2x+3)+(2x-6)}=5^{4x-3}$$
2. 2
   Представим правую часть как степень числа $5$:$$\dfrac{1}{625}=\dfrac{1}{5^4}=5^{-4}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{-5-x}=125$.

1. 1
   Преобразуем левую часть уравнения:$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-5-x}=\left(5^{-1}\right)^{-5-x}=5^{5+x}$$
2. 2
   Представим число $125$ как степень числа $5$ и приравняем показатели:$$5^{5+x}=5^3 \Rightarrow 5+x=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{-5-x}=25$.

1. 1
   Представим левую часть и число $25$ как степени числа $5$:$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-5-x}=5^{5+x},\quad 25=5^2$$
2. 2
   Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$5+x=2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+5} : \left(\frac{1}{2}\right)^{-6x+7} = \frac{1}{16}$.

1. 1
   Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+5} : \left(\frac{1}{2}\right)^{-6x+7}=\left(\frac{1}{2}\right)^{(-2x+5)-(-6x+7)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-2}$$
2. 2
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:$$\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{-x+2} = \dfrac{1}{9}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $3$:$$\dfrac{1}{9} = 3^{-2}$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы, поэтому приравняем показатели:$$-x + 2 = -2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сәйкестік чисел и отрезков

Число $m$ равно $\sqrt{2{,}2}$. Каждому из четырёх чисел соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.

1. 1
   Найдём приближённое значение числа $m$:$$m=\sqrt{2{,}2}\approx1{,}48$$
2. 2
   Для позиции А получаем число, принадлежащее отрезку $[4;5]$:$$3+m\approx3+1{,}48=4{,}48$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде