Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 40 км, между А и В — 25 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Сумма дуг АВ, ВГ и ГА равна длине кольцевой дороги:$$L = 25 + 25 + 30 = 80$$
2. 2
   Расстояние между А и Б равно половине длины кольцевой дороги, поэтому Б находится напротив А:$$AB = \frac{80}{2} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 6 и 10. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Если ширины вертикальных частей равны $a$ и $b$, а высоты горизонтальных частей — $c$ и $d$, то площади имеют вид $ac$, $bc$, $bd$, $ad$.$$ac \cdot bd = bc \cdot ad$$
2. 2
   Следовательно, произведения площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, равны.$$3 \cdot 10 = 6x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средний угол трёх лучей

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 6 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Пусть наименьший угол равен $x^\circ$. Тогда наибольший угол равен $6x^\circ$, а средний — $y^\circ$.$$x+y+6x=360$$
2. 2
   Выразим средний угол:$$y=360-7x$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Средний угол трёх лучей

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 4 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Пусть наименьший угол равен $x^\circ$, средний — $y^\circ$. Тогда наибольший угол равен $4x^\circ$.$$x+y+4x=360$$
2. 2
   Выразим средний угол через наименьший.$$y=360-5x$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них указаны в таблице. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

1. 1
   Обозначим ширины левой и правой частей через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
2. 2
   Половины периметров четырёх прямоугольников равны соответственно $a+c$, $b+c$, $a+d$ и $b+d$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 35 км, между А и В — 15 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 30 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Три дуги между А, В и Г образуют всю кольцевую дорогу, поэтому её длина равна:$$L = 15 + 25 + 30 = 70$$
2. 2
   Расстояние между А и Б равно половине длины кольцевой дороги:$$AB = \frac{70}{2} = 35$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 15 и 33. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Для разбиения прямоугольника двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных частей равны.$$5\cdot33=15x$$
2. 2
   Решим полученное уравнение:$$x=\dfrac{5\cdot33}{15}=11$$

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 7, 11 и 13. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$. Поэтому сумма периметров прямоугольников на одной диагонали равна сумме периметров прямоугольников на другой диагонали.$$P_{\text{лев. верх.}} + P_{\text{прав. ниж.}} = P_{\text{прав. верх.}} + P_{\text{лев. ниж.}}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 11, 12 и 11. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левой и правой частей равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — $c$ и $d$. Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
2. 2
   При сложении периметров первого и третьего прямоугольников и вычитании периметра второго получаем периметр четвёртого:$$P_4=P_1+P_3-P_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средний угол трёх лучей

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 7 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Пусть наименьший угол равен $x$ градусов, средний угол — $y$ градусов. Тогда наибольший угол равен $7x$ градусов.$$x+y+7x=360$$
2. 2
   Выразим средний угол через наименьший.$$y=360-8x$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 11, 7 и 17. Найдите…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Средний угол трёх лучей

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 5 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Обозначим наименьший угол через $x$, средний угол через $y$, а наибольший через $5x$. Сумма углов вокруг точки равна $360^\circ$.$$x+y+5x=360$$
2. 2
   Выразим средний угол через наименьший.$$y=360-6x$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 17 и 8. Найдите периметр…

1. 1
   При разбиении большого прямоугольника двумя разрезами сумма периметров противоположных малых прямоугольников одинакова.$$P_1 + P_3 = P_2 + P_4$$
2. 2
   Подставим известные периметры и найдём периметр четвёртого прямоугольника.$$P_4 = P_1 + P_3 - P_2 = 15 + 8 - 17 = 6$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 100 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 70 км, между Г и А — 80 км. Все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Суммируем расстояния между А, В и Г, которые образуют всю кольцевую дорогу:$$L=50+70+80=200\text{ км}$$
2. 2
   Половина длины кольцевой дороги равна $100$ км. Так как $АБ=100$ км, точки А и Б расположены на противоположных концах диаметра.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 17, 12 и 13. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины левого и правого столбцов через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — через $c$ и $d$. Тогда периметры четырёх прямоугольников равны $2(a+c)$, $2(b+c)$, $2(b+d)$ и $2(a+d)$.
2. 2
   Сложим периметры левого верхнего и правого нижнего прямоугольников и вычтем периметр правого верхнего: общие стороны сократятся, останется периметр левого нижнего прямоугольника.$$P_4 = P_1 + P_3 - P_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 9 и 21. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. При разбиении двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных прямоугольников равны:$$S_{\text{лев. верх.}} \cdot S_{\text{прав. ниж.}} = S_{\text{прав. верх.}} \cdot S_{\text{лев. ниж.}}$$
2. 2
   Подставим известные площади:$$3 \cdot 21 = 9x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 16 и 32. Найдите площадь…

1. 1
   У четырёх прямоугольников, полученных двумя разрезами, произведение площадей противоположных частей одинаково.$$14 \cdot S = 16 \cdot 32$$
2. 2
   Выразим площадь четвёртого прямоугольника:$$S = \dfrac{16 \cdot 32}{14} = 28$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 75 км, между А и В — 50 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 60 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Рассмотрим дугу от А до Г, проходящую через В. Её длина равна сумме расстояний АВ и ВГ.$$50 + 40 = 90$$
2. 2
   Кратчайшая дуга между А и Г имеет длину 60 км, поэтому длина всей кольцевой дороги равна:$$90 + 60 = 150$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 21 и 27. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Отношение ширины левого и правого столбцов одинаково для верхней и нижней строк, поэтому$$\frac{14}{21} = \frac{x}{27}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$21x = 14 \cdot 27$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 16. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины верхнего и нижнего рядов через $a$ и $b$, а высоты левого и правого столбцов — через $c$ и $d$.$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
2. 2
   Сложим половины периметров левого верхнего и правого нижнего прямоугольников.$$\frac{P_1}{2}+\frac{P_3}{2}=a+c+b+d$$

Ещё 2 шага — в полном решении