Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Произведение тангенса и котангенса

Найдите значение выражения $\operatorname{tg} 9^\circ \cdot \operatorname{ctg} 9^\circ$.

1. 1
   Котангенс угла является величиной, обратной тангенсу этого угла.$$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$$
2. 2
   Подставим это соотношение в исходное выражение.$$\operatorname{tg} 9^\circ \cdot \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 9^\circ \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} 9^\circ} = 1$$

Нахождение тангенса угла

Найдите $\tg\alpha$, если $\sin\alpha=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ и $180^\circ<\alpha<270^\circ$.

1. 1
   Угол $\alpha$ находится в III четверти, поэтому косинус отрицателен.
2. 2
   Найдём модуль косинуса по основному тригонометрическому тождеству:$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\frac{1}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найти синус угла

Найдите $\sin\alpha$, если $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{21}}{5}$ и $0^\circ<\alpha<90^\circ$.

1. 1
   Применим основное тригонометрическое тождество:$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$$
2. 2
   Подставим значение косинуса:$$\sin^2\alpha=1-\left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right)^2=1-\dfrac{21}{25}=\dfrac{4}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение тангенса и котангенса

Найдите значение выражения $\operatorname{tg} 21^\circ \cdot \operatorname{ctg} 21^\circ$.

1. 1
   Котангенс угла является величиной, обратной его тангенсу.$$\operatorname{ctg} \alpha = \dfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$$
2. 2
   Подставим это соотношение в выражение и сократим взаимно обратные множители.$$\operatorname{tg} 21^\circ \cdot \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg} 21^\circ \cdot \dfrac{1}{\operatorname{tg} 21^\circ} = 1$$

Произведение тангенса и котангенса

Найдите значение выражения $\tg 33^\circ \cdot \ctg 33^\circ$.

1. 1
   Используем свойство взаимно обратных величин:$$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$$
2. 2
   Подставляем $\alpha = 33^\circ$ и сокращаем произведение:$$\tg 33^\circ \cdot \ctg 33^\circ = \tg 33^\circ \cdot \frac{1}{\tg 33^\circ} = 1$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $26\sin 750^\circ$.

1. 1
   Сократим угол на два полных оборота:$$750^\circ=720^\circ+30^\circ$$
2. 2
   По периодичности синуса:$$\sin750^\circ=\sin30^\circ=\frac{1}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение тангенса и котангенса

Найдите значение выражения $\tg 13^\circ \cdot \ctg 13^\circ$.

1. 1
   Используем взаимно обратность тангенса и котангенса.$$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$$
2. 2
   При $\alpha = 13^\circ$ произведение равно единице.$$\tg 13^\circ \cdot \ctg 13^\circ = \tg 13^\circ \cdot \frac{1}{\tg 13^\circ} = 1$$

Нахождение косинуса по синусу

Найдите $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{21}}{5}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   Применяем основное тригонометрическое тождество:$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
2. 2
   Выражаем квадрат косинуса и подставляем значение синуса:$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{21}{25} = \dfrac{4}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение тангенса и котангенса

Найдите значение выражения $\tg 87^\circ \cdot \ctg 87^\circ$.

1. 1
   Котангенс угла является величиной, обратной тангенсу этого угла.$$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$$
2. 2
   Подставим это соотношение в выражение.$$\tg 87^\circ \cdot \ctg 87^\circ = \tg 87^\circ \cdot \frac{1}{\tg 87^\circ} = 1$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $37\cos 540^\circ$.

1. 1
   Сократим угол с учётом периода косинуса $360^\circ$:$$540^\circ = 180^\circ + 360^\circ,\quad \cos 540^\circ = \cos 180^\circ$$
2. 2
   Значение косинуса развернутого угла равно $-1$. Подставим его в выражение:$$37\cos 540^\circ = 37\cdot(-1) = -37$$

Синус по косинусу

Найдите $\sin\alpha$, если $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ и $180^\circ<\alpha<270^\circ$.

1. 1
   Так как $180^\circ<\alpha<270^\circ$, угол находится в III четверти, поэтому $\sin\alpha<0$.
2. 2
   По основному тригонометрическому тождеству:$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тангенса угла

Найдите значение выражения $-17\tg 765^\circ$.

1. 1
   Представим угол $765^\circ$ как сумму $720^\circ$ и $45^\circ$.$$765^\circ = 720^\circ + 45^\circ$$
2. 2
   Так как период тангенса равен $180^\circ$, получаем:$$\tg 765^\circ = \tg 45^\circ = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $-15\cos 630^\circ$.

1. 1
   Сократим угол на полный оборот:$$630^\circ = 270^\circ + 360^\circ$$
2. 2
   Косинус угла $270^\circ$ равен нулю:$$\cos 630^\circ = \cos 270^\circ = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс острого угла

Найдите $\tg\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{6}{\sqrt{61}}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   Так как угол острый, косинус положителен. По основному тригонометрическому тождеству:$$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{36}{61}} = \frac{5}{\sqrt{61}}$$
2. 2
   Находим тангенс как отношение синуса к косинусу:$$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{6/\sqrt{61}}{5/\sqrt{61}} = \frac{6}{5}$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $-7\sqrt{3}\tg 1110^\circ$.

1. 1
   Используем периодичность тангенса и представим угол $1110^\circ$ через $30^\circ$:$$1110^\circ=30^\circ+6\cdot180^\circ$$
2. 2
   Тогда значение тангенса равно:$$\tg1110^\circ=\tg30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 110 км, между А и В — 85 км, между В и Г — 80 км, между Г и А — 55 км. Все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Расстояние между А и Б равно 110 км. Это половина длины кольцевой дороги, поэтому её длина составляет:$$L = 2 \cdot 110 = 220\ \text{км}$$
2. 2
   Расстояния от А до В и от А до Г в сумме дают 140 км, а кратчайшее расстояние между В и Г равно 80 км. Следовательно, В и Г находятся по разные стороны от А на соответствующих дугах.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 60 км, между А и В — 45 км, между В и Г — 40 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Сумма трёх указанных участков образует длину кольцевой дороги:$$L=45+40+35=120$$
2. 2
   Расстояние между А и Б равно $60$ км, то есть половине длины кольцевой дороги. Поэтому точки Б и В расположены на одной полуокружности относительно А, и расстояние между ними равно разности расстояний от А:$$BV=AB-AV=60-45=15$$

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 30 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 45 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   По данным расстояния между А, В и Г последовательно образуют всю кольцевую дорогу:$$L = 30 + 25 + 45 = 100$$
2. 2
   Расстояние между А и Б равно $50$ км, то есть половине длины дороги. Поэтому Б расположена на расстоянии $50$ км от А.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50 км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25 км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Дуга от В до Г, проходящая через А, имеет длину:$$40 + 35 = 75$$
2. 2
   Так как кратчайшее расстояние между В и Г равно 25 км, длина всей кольцевой дороги равна:$$75 + 25 = 100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 10, 15 и 21. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Произведения площадей противоположных прямоугольников равны.$$10\cdot21=15x$$
2. 2
   Выразим искомую площадь:$$x=\frac{10\cdot21}{15}=14$$