Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 50, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Из-за равнобедренности боковые отрезки у оснований равны:$$x=\dfrac{50-14}{2}=18$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 30:$$h=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшая средняя линия

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.

1. 1
   Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.$$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$$
2. 2
   Наибольшая средняя линия параллельна наибольшей стороне, то есть гипотенузе, и равна её половине.$$m = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $16^\circ$, угол $CAD$ равен $32^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому дуга $AD$ в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot16^\circ=32^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому дуга $CD$ равна удвоенному углу $CAD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot32^\circ=64^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $53$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{40}{41}$. Гипотенуза $AB = 82$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, а гипотенуза — $AB$. Найдём катет $BC$.$$BC = AB \cdot \cos B = 82 \cdot \frac{40}{41} = 80$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём второй катет $AC$.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{82^2 - 80^2} = \sqrt{324} = 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $160$, сторона $AB = 12$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Поэтому найдём длину стороны $AD$:$$AD = \frac{S}{AB} = \frac{160}{12} = \frac{40}{3}$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $CD$ равна стороне $AB$, то есть $CD = 12$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $9$, а $\tg A = \dfrac{3}{4}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
2. 2
   Используем определение тангенса угла $A$ и найдём половину основания.$$\tg A = \frac{BM}{AM} = \frac{3}{4},\quad \frac{9}{AM}=\frac{3}{4},\quad AM=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по углу

Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна 64.

1. 1
   Найдём сторону квадрата: она же является стороной ромба.$$a = \sqrt{64} = 8$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла.$$S = a^2\sin 30^\circ = 8^2 \cdot \frac{1}{2} = 32$$

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 40$, $\cos A = 0{,}8$. Найдите длину стороны $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 40 \cdot 0{,}8 = 32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 41$, $AC = 18$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $AH = HC = 9$.
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту треугольника:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 6$, $AC = BD = 10$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   В параллелограмме равные диагонали означают, что он является прямоугольником.
2. 2
   Обозначим вторую сторону прямоугольника через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2 + 6^2 = 10^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в правильном девятиугольнике

$ABCDEF GHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $CAF$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного девятиугольника, равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
2. 2
   Дуга $CF$, не содержащая точку $A$, включает три стороны: $CD$, $DE$ и $EF$.$$3\cdot40^\circ=120^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $27$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Поэтому сумма двух углов $240^\circ$ — это сумма двух тупых углов, каждый из которых равен $120^\circ$. Острые углы равны $60^\circ$.
2. 2
   Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она делит ромб на два равносторонних треугольника, поэтому равна стороне ромба: $a = 27$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина проекции катета

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 12$, $\sin A = 0{,}75$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{12}{0{,}75} = 16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 7 и 19, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Найдём высоту трапеции как перпендикулярную составляющую боковой стороны.$$h=6\sin150^\circ=6\cdot\frac{1}{2}=3$$
2. 2
   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S=\frac{7+19}{2}\cdot3=13\cdot3=39$$

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба равна 10, одна из его диагоналей равна 12. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половина известной диагонали равна $12:2=6$. Половины диагоналей ромба и его сторона образуют прямоугольный треугольник.$$\left(\dfrac{12}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2 = 10^2$$
2. 2
   Найдём половину второй диагонали:$$\dfrac{d_2}{2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла 3, если $\angle 1 = 32^\circ$, $\angle 2 = 77^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Наклонные прямые пересекают параллельные прямые $m$ и $n$, поэтому соответствующие углы равны. Углы при основании образованного треугольника равны $32^\circ$ и $77^\circ$.
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\angle 3 = 180^\circ - 32^\circ - 77^\circ = 71^\circ$$

Косинус угла треугольника

На окружности радиусом 5 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 6$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2R = 2 \cdot 5 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 16$, $AC = BD = 34$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   В параллелограмме диагонали равны, поэтому параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   Найдём вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{900} = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по боковой стороне

Основания трапеции равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции — это перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h = 6\sin 150^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$
2. 2
   Найдём площадь трапеции по формуле через основания и высоту.$$S = \frac{8+16}{2}\cdot 3 = 36$$