Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 30$, $\sin A = 0{,}8$. Найдите длину стороны $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 30 \cdot 0{,}8 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $43$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании и внешний угол образуют развернутый угол, поэтому угол $C$ равен:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, а сторона $BC$ — его гипотенуза.

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 69, боковая сторона равна 50. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $69-41=28$. В равнобедренной трапеции выступ с каждой стороны равен половине этой разности:$$x=\dfrac{69-41}{2}=14$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту трапеции:$$h=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2304}=48$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 20$, $\tg A = \dfrac{9}{4}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Обозначим основание высоты через $H$.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 10$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ и выразим высоту через тангенс угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BH}{AH},\quad BH = 10 \cdot \dfrac{9}{4} = 22{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина средней линии треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 9$, боковая сторона $BC = 15$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK \perp AC$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 72 и 54. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны 36 и 27.$$d_1/2 = 72/2 = 36,\quad d_2/2 = 54/2 = 27$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{17}$, $BC = 1$. Найдите $\tg A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC^2 = (\sqrt{17})^2 - 1^2 = 16,\quad AC = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 33$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ — противолежащий углу $A$, а $AB$ — гипотенуза.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшая средняя линия

Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.

1. 1
   Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.$$c=\sqrt{16^2+30^2}=\sqrt{256+900}=\sqrt{1156}=34$$
2. 2
   Средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны. Поэтому возможные средние линии имеют длины:$$\frac{16}{2}=8,\quad \frac{30}{2}=15,\quad \frac{34}{2}=17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 12$, $AC = 32$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$$
2. 2
   Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 60, площадь треугольника равна 480. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Выразим высоту треугольника из формулы площади:$$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot h$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём высоту:$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 480}{60} = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $9$, а $\tg A = \dfrac{9}{40}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
2. 2
   По определению тангенса угла $A$ найдём длину половины основания.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM},\quad AM = \dfrac{9}{9/40} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Углы при параллельных прямых

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 77^\circ$, угол $2 = 88^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Наклонные прямые вместе с отрезком прямой $n$ образуют треугольник. Поскольку $m \parallel n$, угол треугольника у левой вершины равен углу $1$ как внутренние накрест лежащие углы.$$角_\text{лев} = 77^\circ$$
2. 2
   Угол при правой вершине треугольника равен углу $2$.$$角_\text{прав} = 88^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол по диаметрам окружности

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $88^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$$
2. 2
   Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Его величина равна половине центрального угла $AOB$.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \dfrac{92^\circ}{2} = 46^\circ$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $64$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании треугольника смежен с внешним углом, поэтому он равен$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BM}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла по синусу

Найдите $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = -\dfrac{\sqrt{91}}{10}$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$.

1. 1
   По основному тригонометрическому тождеству найдём квадрат косинуса:$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{\sqrt{91}}{10}\right)^2 = 1 - \dfrac{91}{100} = \dfrac{9}{100}$$
2. 2
   Угол $\alpha$ находится в четвёртой четверти, поэтому косинус положителен:$$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{9}{100}} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$. Площадь треугольника равна $18$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Найдём катет $AC$ по формуле площади:$$18 = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot 4$$
2. 2
   Вычисляем длину катета $AC$:$$AC = \dfrac{2 \cdot 18}{4} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике одна из сторон равна 30, а диагональ равна 34. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b^2 = 34^2 - 30^2 = 1156 - 900 = 256$$
2. 2
   Вторая сторона прямоугольника равна 16.$$b = \sqrt{256} = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $41^\circ$, угол $ABC$ равен $26^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $\angle BAL=\angle LAC=x$, так как $AL$ — биссектриса. Обозначим $\angle ACB=y$.
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ALC$. Его углы равны $x$, $y$ и $41^\circ$:$$x+y+41^\circ=180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{9}$, $BC = 36$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащей, а $BC$ — прилежащей.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 36 \cdot \dfrac{5}{9} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении