Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? Во…

1. 1
   Пусть на одном этаже каждого подъезда находится $n$ квартир. Тогда в одном подъезде $12n$ квартир.$$12n$$
2. 2
   Квартира № 468 находится в восьмом подъезде, поэтому номера квартир в первых семи подъездах меньше 468, а номер 468 не превышает количество квартир в первых восьми подъездах.$$7 \cdot 12n < 468 \leq 8 \cdot 12n$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $3 \times 8$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 22 пары соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 3 строк имеется 7 горизонтальных пар соседних клеток, поэтому горизонтальных пар всего:$$3 \cdot 7 = 21$$
2. 2
   В каждом из 8 столбцов имеется 2 вертикальные пары соседних клеток, поэтому вертикальных пар всего:$$8 \cdot 2 = 16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? На всех…

1. 1
   Пусть в одном подъезде находится $N$ квартир. Тогда квартира № 462 в седьмом подъезде должна удовлетворять условию:$$6N < 462 \leq 7N$$
2. 2
   Так как в подъезде 7 этажей и на каждом этаже одинаковое число квартир, $N$ должно делиться на 7. Из неравенств получаем $66 \leq N \leq 77$. Единственное подходящее число, кратное 7, — $N = 70$.$$N = 70$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже в любом подъезде одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше…

1. 1
   Обозначим число этажей через $x$, число квартир на этаже через $y$, а число подъездов через $z$. Тогда $x > y > z > 1$ и $xyz = 186$.$$xyz = 186$$
2. 2
   Разложим число 186 на простые множители:$$186 = 2 \cdot 3 \cdot 31$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 7 и 8. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке равны $2(a+c)=3$, $2(b+c)=7$, $2(b+d)=8$ и $2(a+d)=x$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Натуральное число и параметры

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно только $6$, $7$ или $8$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=164$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Пусть $x$ — число этажей в доме, $y$ — число квартир на этаже, $z$ — число подъездов. Тогда общее число квартир равно произведению этих величин:$$xyz = 165$$
2. 2
   Разложим число $165$ на простые множители:$$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество рыжиков в корзине

В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?

1. 1
   Среди любых 17 грибов должен быть хотя бы один рыжик. Поэтому груздей не может быть 17 или больше: иначе можно было бы выбрать 17 груздей.$$N_{\text{груздей}} \leq 16$$
2. 2
   Следовательно, рыжиков не меньше 24.$$N_{\text{рыжиков}} \geq 40 - 16 = 24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Обмен монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 3 золотые монеты получить 4 серебряные и одну медную; за 7 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, в которых за 3 золотые монеты получают 4 серебряные и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 7 серебряных монет получают 4 золотые и одну медную.
2. 2
   Всего появилось 42 медные монеты, значит, обменный пункт посещали $42$ раза.$$x+y=42$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Расчёт сдачи на бензоколонке

На бензоколонке один литр бензина стоит 59 рублей. Водитель залил в бак 10 литров бензина и взял бутылку воды за 107 рублей. Сколько рублей сдачи он получит с 1000 рублей?

1. 1
   Вычислим стоимость бензина:$$59 \cdot 10 = 590$$
2. 2
   Найдём общую стоимость покупки, прибавив стоимость бутылки воды:$$590 + 107 = 697$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 392, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Первая страница после выпавших листов должна быть больше 392 и состоять из тех же цифр. Наименьшее подходящее число — 923.$$923 > 392$$
2. 2
   Определим количество выпавших страниц: страницы идут от 393 до 922.$$923 - 392 - 1 = 530$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подъём улитки на дерево

Улитка за день заползает вверх по дереву на 2 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?

1. 1
   За полный день и последующую ночь улитка продвигается на 1 м: $2 - 1 = 1$ м.
2. 2
   Перед последним подъёмом улитке достаточно оказаться на высоте 8 м. Это происходит после 8 полных дней и ночей.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Позиции кузнечика после прыжков

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   За каждый прыжок координата изменяется на 1. После 7 прыжков расстояние от начала координат не может превышать 7, а координата будет нечётной.$$x \in \{-7,-5,-3,-1,1,3,5,7\}$$
2. 2
   Подсчитываем количество возможных координат.$$\frac{7-(-7)}{2}+1=8$$

Точки после четырёх прыжков

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в…

1. 1
   Каждый прыжок изменяет координату на $1$ или на $-1$. За четыре прыжка координата может измениться от $-4$ до $4$.
2. 2
   После четырёх прыжков возможны только координаты той же чётности, что и число прыжков: $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Партии игроков в настольный теннис

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 12 партий, а Коля — 25. Сколько партий…

1. 1
   Коля сыграл больше партий, чем Миша, поэтому в этой последовательности партий он оставался победителем, а Миша и Лёша поочерёдно заменяли друг друга после проигрыша.
2. 2
   Всего партий с участием Коли было 25. В них соперниками Коли были Миша и Лёша, причём их количества отличаются на одну партию.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разбиение глобуса линиями

На поверхности глобуса фломастером проведены 20 параллелей и 15 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Двадцать параллелей разделяют поверхность глобуса на 21 полосу: между соседними параллелями и в двух полярных областях.$$20+1=21$$
2. 2
   Каждый из 15 меридианов проходит через каждую полосу и делит её на 15 частей.$$21\cdot 15=315$$

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? Во всех…

1. 1
   Обозначим через $x$ число квартир на одном этаже. Тогда в одном подъезде $5x$ квартир, а перед двенадцатым подъездом расположено $11 \cdot 5x=55x$ квартир.
2. 2
   Номер квартиры 465 должен находиться в двенадцатом подъезде:$$55x < 465 \leq 60x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Пачки чая на конференцию

Каждый день во время конференции расходуется 60 пакетиков чая. Конференция длится 3 дня. В пачке чая 25 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

1. 1
   Найдём количество пакетиков чая, необходимое на все дни конференции.$$60 \cdot 3 = 180$$
2. 2
   Разделим общее количество пакетиков на число пакетиков в одной пачке и округлим результат вверх, так как неполную пачку купить нельзя.$$\left\lceil \dfrac{180}{25} \right\rceil = \left\lceil 7{,}2 \right\rceil = 8$$

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 15 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 435 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $S$. Время движения туда и обратно соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{15},\quad t_2 = \dfrac{S}{435}$$
2. 2
   Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути к общему времени:$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2S}{\frac{S}{15}+\frac{S}{435}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 5 больших фишек, отдав 13 маленьких. До обменов у Пети было 50 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 26…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 13 фишек и получает 5 фишек, поэтому общее количество фишек уменьшается на 8.$$13 - 5 = 8$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось с 50 до 26, то есть на 24 фишки.$$50 - 26 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении