Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Четырёхзначное число кратное 45

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 45, все цифры которого различны и нечётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное $45$, должно делиться на $5$ и на $9$.
2. 2
   Все цифры должны быть нечётными и различными. Возьмём число $1395$: его последняя цифра равна $5$, поэтому оно делится на $5$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число, делящееся на цифры

Найдите натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $412$. Его цифры различны и не равны нулю.
2. 2
   Число находится в требуемом диапазоне:$$400 < 412 < 650$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Пятизначное число кратное 25

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 25, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Пятизначное число, кратное 25, должно оканчиваться одной из комбинаций: $00$, $25$, $50$ или $75$.
2. 2
   Выберем окончание $25$. Разность соседних цифр равна $|5-2|=3$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число по условиям

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 15, произведение цифр которого равно 60. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 15, должно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра должна быть 0 или 5, а сумма цифр — кратна 3.$$15 = 3 \cdot 5$$
2. 2
   Подберём четырёхзначное число с произведением цифр 60: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.$$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма делителей числа 66

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $66$ представлено как произведение различных простых чисел: $66=2\cdot3\cdot11$.$$p_1=2,\quad p_2=3,\quad p_3=11$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(3+1)(11+1)=3\cdot4\cdot12=144$$

Четырёхзначное число кратное 66

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 66, все цифры которого различны и чётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим число $66$ на простые множители:$$66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$$
2. 2
   Рассмотрим число $2046$. Все его цифры различны и чётны.

Ещё 3 шага — в полном решении

Число, делящееся на цифры

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 3200, но меньшее 3500, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число больше $3200$ и меньше $3500$, оно имеет вид $32ab$, где цифры $a$ и $b$ различны и не совпадают с $3$ и $2$.
2. 2
   Подберём цифры так, чтобы число делилось на каждую свою цифру. Число $3216$ имеет четыре различные цифры: $3$, $2$, $1$ и $6$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 3537. В ответе укажите какое-нибудь одно…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$, тогда число, записанное в обратном порядке, имеет вид $\overline{dcba}$.
2. 2
   Поскольку исходное число кратно $5$, его последняя цифра может быть равна $0$ или $5$. Чтобы при обращении получилось четырёхзначное число, последняя цифра исходного числа не может быть равна $0$. Значит, $d=5$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Трёхзначное число кратное 40

Найдите трёхзначное число, кратное 40, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $240$. Оно трёхзначное, и все его цифры различны: $2$, $4$ и $0.
2. 2
   Проверим кратность 40:$$240 = 40 \cdot 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с делимой суммой цифр

Найдите трёхзначное число $A$, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 7; сумма цифр числа $A+2$ делится на 7; число $A$ больше 300 и меньше 350. В ответе укажите какое-нибудь…

1. 1
   Так как $300 < A < 350$, число $A$ имеет вид $3ab$. Проверим числа, для которых сумма цифр числа $A$ кратна 7.
2. 2
   Подходит число $A=338$: сумма его цифр равна $3+3+8=14$, а $14$ делится на 7.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 3366. В ответе запишите какое-нибудь…

1. 1
   Проверим число $9075$. Оно является четырёхзначным и кратно 5, так как оканчивается цифрой $5$.$$9075 : 5 = 1815$$
2. 2
   Запишем цифры числа в обратном порядке: получим второе четырёхзначное число $5709$.$$\overline{9075} \rightarrow \overline{5709}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма делителей произведения простых чисел

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Представим число $114$ в виде произведения трёх различных простых чисел: $114=2\cdot3\cdot19$.
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(3+1)(19+1)=3\cdot4\cdot20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число с равными суммой и произведением цифр

Найдите чётное пятизначное натуральное число, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Возьмём цифры $5, 1, 1, 1, 2$. Полученное пятизначное число будет чётным, если последней цифрой поставить $2$.
2. 2
   Проверим сумму цифр:$$5+1+1+1+2=10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число, кратное 11

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 11, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $3311$ и найдём сумму его цифр:$$3+3+1+1=8$$
2. 2
   Найдём произведение цифр. Оно на 1 больше суммы:$$3\cdot3\cdot1\cdot1=9=8+1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число по условиям

Найдите четырёхзначное число, большее 3500, но меньшее 5500, которое делится на 40 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число больше $3500$ и меньше $5500$, его первая цифра может быть равна 4 или 5. Требуется, чтобы цифры строго убывали.
2. 2
   Число, делящееся на 40, должно оканчиваться на 0. Подберём убывающие цифры для числа, начинающегося с 5: получаем число $5320$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число по цифрам

Найдите чётное четырёхзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения.

1. 1
   Рассмотрим число 1152. Оно является четырёхзначным и чётным, так как оканчивается цифрой 2.
2. 2
   Сумма его цифр равна 9:$$1+1+5+2=9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число по свойствам цифр

Найдите трёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению.

1. 1
   Рассмотрим число $132$. Сумма его цифр равна $1+3+2=6$.$$1+3+2=6$$
2. 2
   Произведение цифр также равно $6$.$$1\cdot3\cdot2=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 12

Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Проверим число $2712$ на кратность $12$.$$2712 : 12 = 226$$
2. 2
   Вычислим произведение его цифр.$$2 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 2 = 28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число, делящееся на цифры

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 3500, но меньшее 3850, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны.

1. 1
   Рассмотрим подходящее число $3612$: оно четырёхзначное и удовлетворяет условию $3500 < 3612 < 3850$.$$3500 < 3612 < 3850$$
2. 2
   Все цифры числа различны: $3$, $6$, $1$ и $2$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число, кратное 40

Найдите трёхзначное число, кратное 40, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $120$. Все его цифры различны: $1$, $2$ и $0$.
2. 2
   Проверим кратность $40$:$$120 = 40 \cdot 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении