261ФИПИ 7C74D0№ 19Повышенная Вычеркните в числе 76345709 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
Из числа 76345709 нужно удалить три цифры, сохранив порядок остальных цифр. Подходит удаление цифр 5, 7 и 9.$$76345709 \to 76340$$
- 2
Проверим делимость получившегося числа на 22.$$76340 \div 22 = 3470$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
262ФИПИ 7EFB8D№ 19Повышенная В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим произведение на множители, составленные из допустимых отметок:$$3138 = 2 \cdot 3 \cdot 523$$
- 2
Следовательно, последовательность отметок Пети — 2, 3, 5, 2, 3.
Ещё 2 шага — в полном решении
263ФИПИ 7FB7F4№ 19Повышенная Найдите пятизначное натуральное число, кратное 15, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число, кратное 15, должно делиться на 5 и на 3. Поэтому его последняя цифра может быть 0 или 5.
- 2
Подберём пять цифр так, чтобы каждые соседние отличались на 2: 5, 7, 9, 7, 5.
Ещё 2 шага — в полном решении
264ФИПИ 818740№ 19Повышенная Найдите четырёхзначное число, которое в 12 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Пусть искомое четырёхзначное число равно $m$. По условию $m = \dfrac{n^3}{12}$ для некоторого натурального числа $n$.
- 2
Подберём натуральное число $n = 42$. Его куб равен:$$42^3 = 74088$$
Ещё 2 шага — в полном решении
265ФИПИ 819229№ 19Повышенная Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 4000, но меньшее 6000, которое делится на 30 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей.
- 1
Так как число больше 4000 и меньше 6000, его первая цифра может быть только 4 или 5. Все цифры должны строго убывать.
- 2
Число, делящееся на 30, должно оканчиваться на 0 и иметь сумму цифр, кратную 3.
Ещё 2 шага — в полном решении
266ФИПИ 81C7FB№ 19Повышенная Найдите трёхзначное натуральное число, кратное 25, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Число $125$ трёхзначное, его цифры различны, а последние две цифры образуют число $25$, поэтому оно кратно $25$.$$125 : 25 = 5$$
- 2
Найдём сумму квадратов цифр числа:$$1^2 + 2^2 + 5^2 = 1 + 4 + 25 = 30$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
267ФИПИ 822231№ 19Повышенная Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…
- 1
Число $165$ представлено в виде произведения различных простых чисел: $165=3\cdot5\cdot11$.$$p_1=3,\quad p_2=5,\quad p_3=11$$
- 2
По условию сумма всех делителей равна произведению увеличенных на единицу простых множителей.$$(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)=(3+1)(5+1)(11+1)$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
268ФИПИ 84A0FE№ 19Повышенная Найдите пятизначное число, кратное 25, любые две соседние цифры которого отличаются на 2.
- 1
Пятизначное число, кратное 25, должно оканчиваться на $00$, $25$, $50$ или $75$.
- 2
Возьмём окончание $75$. Предыдущая цифра должна отличаться от 7 на 2, поэтому можно поставить 5. Далее последовательно выбираем цифры 3 и 1: каждая соседняя пара отличается на 2.
Ещё 1 шаг — в полном решении
269ФИПИ 858D69№ 19Повышенная Найдите пятизначное натуральное число, кратное 12, любые две соседние цифры которого отличаются на 2.
- 1
Рассмотрим число $42420$. Проверим условие для соседних цифр: $|4-2|=|2-4|=|4-2|=|2-0|=2$.$$|4-2|=|2-4|=|4-2|=|2-0|=2$$
- 2
Число делится на 3, так как сумма его цифр равна 12. Оно делится на 4, так как последние две цифры образуют число 20, делящееся на 4.$$4+2+4+2+0=12,\quad 20\mathbin{:}4=5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
270ФИПИ 863241№ 19Повышенная Найдите трёхзначное натуральное число, большее 600, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 3 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе…
- 1
Так как при делении на 4, 5 и 6 число даёт остаток 3, число $n-3$ делится на каждое из чисел 4, 5 и 6. Поэтому $n-3$ делится на $\operatorname{НОК}(4,5,6)=60$.$$n = 60k + 3$$
- 2
Трёхзначные числа, большие 600, имеют вид $60k+3$: $603, 663, 723, 783, 843, 903, 963$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
271ФИПИ 86495B№ 19Повышенная На шести карточках написаны цифры 1, 1, 5, 6, 8, 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…
- 1
Расположим карточки так: в однозначном слагаемом поставим цифру 1, в двузначном — цифры 5 и 1, в трёхзначном — цифры 9, 6 и 8.$$1 + 51 + 968$$
- 2
Вычислим сумму.$$1 + 51 + 968 = 1020$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
272ФИПИ 880274№ 19Повышенная Найдите четырёхзначное число, большее 3000, но меньшее 3500, которое делится на 12 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как число больше 3000, но меньше 3500, его первая цифра равна 3. Все следующие цифры должны возрастать.
- 2
Подходит число $3456$: выполняется условие $3 < 4 < 5 < 6$.
Ещё 2 шага — в полном решении
273ФИПИ 892FAA№ 19Повышенная Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 11.
- 1
Наибольшая возможная цифра сотен — 8, так как цифра 9 запрещена. Для получения наибольшего числа проверяем числа, начинающиеся с 88.
- 2
Число 888 не делится на 11, поскольку $8 - 8 + 8 = 8$.
Ещё 2 шага — в полном решении
274ФИПИ 8A2838№ 19Повышенная Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 0 и 3 и делится на 90. Запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Так как число делится на 90, оно должно делиться на 10. Поэтому последняя цифра должна быть 0.
- 2
Число также должно делиться на 9. Сумма его цифр должна быть кратна 9. Если использовать три цифры 3, сумма цифр равна 9.
Ещё 2 шага — в полном решении
275ФИПИ 90224A№ 19Повышенная Найдите четырёхзначное число, большее 1500, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 21. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Ищем число между 1500 и 2000. Подберём число, сумма цифр которого равна 21: $1+9+9+2=21$.$$1992$$
- 2
Проверим делимость на 24.$$1992:24=83$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
276ФИПИ 91E8C3№ 19Повышенная Найдите пятизначное число, кратное 75, произведение цифр которого больше 85, но меньше 95. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Подберём пятизначное число, оканчивающееся на $25$, чтобы оно делилось на $25$.
- 2
Рассмотрим число $91125$. Сумма его цифр равна $9 + 1 + 1 + 2 + 5 = 18$, поэтому число делится на $3$. Следовательно, оно делится на $75 = 3 \cdot 25$.$$91125 \mathbin{:} 75 = 1215$$
Ещё 2 шага — в полном решении
277ФИПИ 92AE00№ 19Повышенная Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
- 1
Рассмотрим число $8624$. Все его цифры чётные и различны: $8$, $6$, $2$, $4$.
- 2
Проверим кратность числа $88$:$$8624 = 88 \cdot 98$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
278ФИПИ 93338C№ 19Повышенная На шести карточках написаны цифры: 1; 2; 3; 3; 4; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…
- 1
Разместим цифру $3$ в разряде сотен. Для получения суммы $380$ сумма цифр в разряде десятков должна быть $7$, а сумма цифр в разряде единиц — $10$.$$10T + U = 80$$
- 2
В разряд десятков поместим цифры $3$ и $4$, их сумма равна $7$. В разряд единиц поместим цифры $7$, $1$ и $2$, их сумма равна $10$.$$T = 3 + 4 = 7,\quad U = 7 + 1 + 2 = 10$$
Ещё 2 шага — в полном решении
279ФИПИ 958A52№ 19Повышенная Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. Укажите какое-нибудь одно получившееся число.
- 1
Число должно делиться на 12, то есть одновременно делиться на 3 и на 4.$$12 = 3 \cdot 4$$
- 2
Вычеркнем из числа 181615121 цифры 6, 1 и 1. Получим число 181512.
Ещё 2 шага — в полном решении
280ФИПИ 95E775№ 19Повышенная Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 8, и на 10 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра справа в записи которого является суммой двух других цифр. В ответе запишите…
- 1
Возьмём трёхзначное число $123$. Его первая цифра справа равна $3$, а сумма двух других цифр равна $1+2=3$.$$3=1+2$$
- 2
Проверим остаток при делении на $8$:$$123=8\cdot15+3$$
Ещё 2 шага — в полном решении