Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Подсчёт правильных ответов

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию $y \geq 1$.$$9x - 13y = 225$$
2. 2
   Выразим количество правильных ответов:$$x = \frac{225+13y}{9}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Поиск числа по признакам делимости

Найдите четырёхзначное число, большее 4500, но меньшее 5000, которое делится на 36 и сумма цифр которого равна 27. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $36=4\cdot 9$, число должно делиться и на $4$, и на $9.
2. 2
   Проверим число $4788$: сумма его цифр равна $4+7+8+8=27$, поэтому оно делится на $9$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 40 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Обозначим через $x$ число правильных ответов, а через $y$ — число неправильных ответов. По условию участник набрал 171 очко:$$9x - 11y = 171$$
2. 2
   Ошибок хотя бы одна, поэтому $y \geq 1$. Кроме того, правильные и неправильные ответы занимают не более 40 вопросов: $x+y \leq 40$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 16 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Обозначим число верных ответов через $x$, а число ошибок — через $y$. Так как участник ошибся хотя бы один раз, $y \geq 1$.$$9x - 16y = 171$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x = \frac{171 + 16y}{9} = 19 + \frac{16y}{9}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 8 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
2. 2
   По условию сумма набранных очков равна 60:$$5x - 8y = 60$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Партии в настольный теннис

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 11 партий, а Коля — 23. Сколько партий…

1. 1
   В каждой партии один игрок остаётся за столом, проигравший уступает место ожидающему игроку.
2. 2
   При таком порядке смены игроков число партий Лёши на одну больше числа партий Миши.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Верные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Тогда число набранных очков выражается уравнением:$$5x - 12y = 35$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x = \dfrac{35 + 12y}{5} = 7 + \dfrac{12y}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ участник получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 14 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число ошибок. Тогда количество набранных очков задаётся уравнением:$$9x-14y=207$$
2. 2
   Преобразуем уравнение: $9x=207+14y$. Так как $207$ и $9x$ делятся на 9, число $14y$ также должно делиться на 9. Поскольку 14 взаимно просто с 9, $y$ кратно 9.

Ещё 2 шага — в полном решении

Распилы по линиям разных цветов

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 7 кусков, если по жёлтым — 8 кусков, а если по зелёным — 14 кусков. Сколько…

1. 1
   Чтобы получить $n$ кусков из одной палки, нужно сделать $n-1$ распилов.$$7-1=6,\quad 8-1=7,\quad 14-1=13$$
2. 2
   На палке всего отмечено 26 линий, поэтому при распиле по всем линиям число кусков на один больше числа распилов.$$6+7+13+1=27$$

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько…

1. 1
   Если по одной группе линий получается $n$ кусков, то количество распилов равно $n-1$.$$9-1=8,\quad 7-1=6,\quad 6-1=5$$
2. 2
   Всего поперечных линий трёх цветов:$$8+6+5=19$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3700 рублей и разностью 1600 рублей.$$a_1=3700,\quad d=1600$$
2. 2
   Найдём стоимость десятого метра.$$a_{10}=a_1+9d=3700+9\cdot1600=18100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 15 и 20. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Для четырёх частей, полученных двумя разрезами, выполняется соотношение произведений площадей на диагоналях:$$18 \cdot 20 = 15 \cdot x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{18 \cdot 20}{15} = 24$$

Найти загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Составим уравнение, где $x$ — загаданное натуральное число:$$Ax+B-C=195$$
2. 2
   Числа $A$, $B$ и $C$ принимают значения $7$, $8$ или $9$. Проверка этих значений даёт единственное решение: $A=7$, $B=7$, $C=8$.$$7x+7-8=195$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 17 кусков. Сколько…

1. 1
   Если палку распилить по $n$ поперечным линиям, получится $n+1$ кусок. Поэтому число линий каждого цвета на единицу меньше числа получившихся кусков.$$n = k - 1$$
2. 2
   Определим количество линий каждого цвета:$$8-1=7,\quad 5-1=4,\quad 17-1=16$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 25 см длиннее другой. Если разрезать ленту…

1. 1
   При разрезе на расстоянии $x$ от середины одна часть ленты длиннее другой на $2x$.
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{кр}}=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 10 см длиннее другой. Если разрезать…

1. 1
   При смещении места разреза на $x$ сантиметров от середины одна часть увеличивается на $x$ см, а другая уменьшается на $x$ см. Поэтому разность длин частей равна $2x$.$$d=2x$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}}=\frac{10}{2}=5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Печенье Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 55 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…

1. 1
   Пусть общее время еды равно $T$, а до обмена блюдами прошло время $t$. Скорость Маши при еде варенья обозначим через $a$. Тогда Маша съела $at$ варенья, а Медведь — $2a(T-t)$.$$at=2a(T-t)$$
2. 2
   Так как варенья съедено поровну, сокращаем $a$ и находим время до обмена.$$t=2(T-t),\quad 3t=2T,\quad t=\dfrac{2T}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 68 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре…

1. 1
   Пусть первый промежуток времени длится $t$, а второй — $s$. Скорость Медведя в $4$ раза больше скорости Маши. Так как варенья они съели поровну, получаем:$$v t = 4v s$$
2. 2
   Следовательно, $t=4s$. Можно принять длительность первого и второго промежутков равной $4$ и $1$ соответственно.

Ещё 3 шага — в полном решении

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 140 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть Маша ест со скоростью $v$, тогда Медведь ест со скоростью $3v$. Пусть Маша ела варенье время $t$, а после обмена — время $T-t$.$$v_{\text{М}}=v,\quad v_{\text{Мед}}=3v$$
2. 2
   Маша съела варенья $vt$, а Медведь — $3v(T-t)$. По условию эти количества равны.$$vt=3v(T-t)\Rightarrow t=3(T-t)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 20 см длиннее другой. Если разрезать…

1. 1
   При разрезе на расстоянии $x$ от середины разность длин получившихся частей равна двум расстояниям от середины до места разреза.$$\Delta = 2x$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски:$$x_{\text{кр}} = \frac{20}{2} = 10\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении