Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 33. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 4?

1. 1
   Обозначим два множителя через $a$ и $b$. По условию:$$(a+1)(b+1)-ab=33$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+a+b+1-ab=33,\quad a+b=32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них равны 21, 11 и 4. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

1. 1
   Обозначим ширины левого и правого столбцов через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — через $c$ и $d$.
2. 2
   По данным периметров получаем:$$a+c=\frac{21}{2},\quad b+c=\frac{11}{2},\quad b+d=\frac{4}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 13, 14 и 12. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$.
2. 2
   Тогда периметры прямоугольников выражаются так:$$2(a+c)=13,\quad 2(b+c)=14,\quad 2(b+d)=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если разрезать ленту…

1. 1
   При разрезе на расстоянии $d$ от середины разность длин получившихся частей равна удвоенному расстоянию до середины.$$\Delta = 2d$$
2. 2
   Расстояние от красной полоски до середины ленты:$$d_{\text{кр}} = \frac{30}{2} = 15\text{ см}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Изменение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 11. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 2?

1. 1
   Обозначим два множителя через $x$ и $y$. По условию увеличение каждого множителя на 1 увеличивает произведение на 11:$$(x+1)(y+1)-xy=11$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$x+y+1=11,\quad x+y=10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 8. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 3?

1. 1
   Пусть исходные множители равны $x$ и $y$. По условию:$$(x+1)(y+1)-xy=8$$
2. 2
   Раскрываем скобки и находим сумму множителей:$$xy+x+y+1-xy=8 \Rightarrow x+y=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3600 рублей, а за каждый следующий метр — на 1400 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3600 рублей и разностью 1400 рублей.$$a_1=3600,\quad d=1400,\quad n=8$$
2. 2
   Найдём стоимость восьмого метра.$$a_8=a_1+7d=3600+7\cdot1400=13400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Печенье и варенье

Маша и Медведь съели 85 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре…

1. 1
   Пусть Маша ест со скоростью $v$, а Медведь — со скоростью $4v$. Пусть всё время еды равно $t$, а Маша ела варенье в течение времени $\tau$.
2. 2
   Маша съела варенья $v\tau$, а Медведь — $4v(t-\tau)$. По условию эти количества равны:$$v\tau = 4v(t-\tau)$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 17, 15 и 18. Найдите периметр…

1. 1
   Пусть ширины левого и правого столбцов равны $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней строк — $c$ и $d$. Тогда периметры прямоугольников по часовой стрелке имеют вид:$$P_1=2(a+c),\quad P_2=2(b+c),\quad P_3=2(b+d),\quad P_4=2(a+d)$$
2. 2
   В сумме $P_1+P_3$ каждое из измерений $a$, $b$, $c$, $d$ встречается один раз. То же самое верно для суммы $P_2+P_4$. Поэтому $P_1+P_3=P_2+P_4$.$$P_4=P_1+P_3-P_2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость оплаты за каждый метр образует арифметическую прогрессию с первым членом $a_1=4300$, разностью $d=1300$ и количеством членов $n=9$.$$a_1=4300,\quad d=1300,\quad n=9$$
2. 2
   Найдём сумму оплаты за все 9 метров по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии.$$S_9=\dfrac{9\left(2\cdot4300+(9-1)\cdot1300\right)}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата копки колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4100 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 4100 рублей и разностью 1700 рублей.$$a_1 = 4100,\quad d = 1700,\quad n = 7$$
2. 2
   Найдём стоимость седьмого метра.$$a_7 = a_1 + (7-1)d = 4100 + 6 \cdot 1700 = 14300$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 151, во втором — 134, в третьем — 143, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице, сложив суммы по столбцам.$$151 + 134 + 143 = 428$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 22 и меньшее 25. Поэтому сумма каждой строки равна 23 или 24.

Ещё 2 шага — в полном решении

Распилы по линиям разных цветов

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 13 кусков, если по жёлтым — 14 кусков, а если по зелёным — 15 кусков. Сколько…

1. 1
   Число линий каждого цвета на одну меньше числа получающихся кусков.$$13-1=12,\quad 14-1=13,\quad 15-1=14$$
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$12+13+14=39$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 12 и 20. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. Для четырёх прямоугольников, полученных двумя разрезами, произведения площадей противоположных частей равны.$$18 \cdot 20 = 12 \cdot x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь и вычислим её.$$x = \dfrac{18 \cdot 20}{12} = 30$$

Обмен маленьких фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдавая 10 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек, а после стало 64. Сколько обменов он совершил?

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 10 фишек и получает 4 фишки, поэтому общее количество фишек уменьшается на 6.$$10 - 4 = 6$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 36.$$100 - 64 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Восстановление натурального числа

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно 6, 7 или 8. Пусть $x$ — загаданное число.$$Ax+B-C=249$$
2. 2
   Проверяем подходящее сочетание коэффициентов: $A=8$, $B=7$, $C=6$. Получаем:$$8x+7-6=249$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Задача о совместной работе

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть Маша ест печенье со скоростью $v$ печений в единицу времени, а время, в течение которого она ела варенье, равно $t$. Обозначим через $u$ время, в течение которого она ела печенье.
2. 2
   Медведь ест в три раза быстрее Маши. Маша съела варенья $vt$, а Медведь — $3vu$. По условию варенья съедено поровну.$$vt=3vu$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть скорость Маши при еде любого продукта равна $v$, а скорость Медведя — $3v$. Обозначим время до обмена блюдами через $t_1$, а после обмена — через $t_2$.$$v_{вар} = v,  v_{медведя} = 3v$$
2. 2
   Маша ела варенье в течение $t_1$, а Медведь — в течение $t_2$. Так как варенья они съели поровну:$$v t_1 = 3v t_2 \Rightarrow t_1 = 3t_2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 2, их произведение увеличилось бы на 44. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

1. 1
   Обозначим два множителя через $a$ и $b$. По условию при увеличении каждого на 2 прирост произведения равен 44:$$(a+2)(b+2)-ab=44$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+2a+2b+4-ab=44;\quad 2a+2b=40;\quad a+b=20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Этаж по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Петя, один подъезд. На каждом этаже по семь квартир. Петя живёт в квартире № 67. На каком этаже живёт Петя?

1. 1
   На первых девяти этажах расположено $9 \cdot 7 = 63$ квартиры.$$9 \cdot 7 = 63$$
2. 2
   Квартира № 67 находится после квартиры № 63, значит, она расположена на десятом этаже.$$67 > 63$$