Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Периметр четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр…

1. 1
   Обозначим ширины левой и правой частей прямоугольника через $a$ и $b$, а высоты верхней и нижней частей — через $c$ и $d$.
2. 2
   Для трёх известных прямоугольников запишем полупериметры:$$a+c=\frac{24}{2}=12,\quad b+c=\frac{28}{2}=14,\quad b+d=\frac{16}{2}=8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4000 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию: первый член равен 4000 рублей, разность равна 1600 рублей, число членов равно 7.$$a_1=4000,\quad d=1600,\quad n=7$$
2. 2
   Найдём стоимость последнего, седьмого метра.$$a_7=a_1+6d=4000+6\cdot1600=13600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию, где $a_1=3500$, $d=1600$, $n=9$.$$a_n=a_1+(n-1)d$$
2. 2
   Найдём стоимость девятого метра:$$a_9=3500+(9-1)\cdot1600=16300$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 3. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?

1. 1
   Пусть исходные множители равны $a$ и $b$. По условию:$$(a+1)(b+1)-ab=3$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+a+b+1-ab=3 \Rightarrow a+b=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Составление суммы из карточек

На шести карточках написаны цифры 2; 3; 5; 6; 7; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении $\square + \square\square + \square\square\square$ вместо каждого квадратика положили карточку из…

1. 1
   Чтобы сумма делилась на 10, сумма цифр в разрядах единиц трёх слагаемых должна оканчиваться на 0. Возьмём для этих разрядов цифры 2, 3 и 5: $2 + 3 + 5 = 10$.
2. 2
   Оставшиеся цифры 6, 7 и 7 расставим так, чтобы получить сумму $672 + 73 + 5$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $6 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 26 пар соседних клеток разного цвета и 6 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 6 строк есть 5 пар соседних клеток по горизонтали.$$6 \cdot 4 = 24$$
2. 2
   В каждом из 5 столбцов есть 5 пар соседних клеток по вертикали.$$5 \cdot 5 = 25$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Билеты на все аттракционы

В городском парке работает 5 аттракционов: карусель, колесо обозрения, автодром, «Ромашка» и «Весёлый тир». В кассах продаётся 6 видов билетов, каждый из которых на один или два аттракциона. Какие…

1. 1
   Билеты 2 и 5 позволяют посетить «Ромашку», «Весёлый тир», карусель и автодром.
2. 2
   Для посещения колеса обозрения добавим билет 3.

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее число пионов

На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Пионы стоят 60 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа пионов он может купить букет Маше на день…

1. 1
   Определим максимальное количество пионов, которое можно купить на 500 рублей:$$\left\lfloor\frac{500}{60}\right\rfloor = 8$$
2. 2
   Букет должен содержать нечётное число цветов. Наибольшее нечётное число, не превышающее 8, равно 7.$$7 \cdot 60 = 420 \leq 500$$

Экономия на подписке

Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 640 рублей, а стоимость одного номера журнала в киоске — 29 рублей. За полгода Аня купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы…

1. 1
   Найдём, сколько рублей Аня потратила бы на покупку 25 номеров в киоске.$$29 \cdot 25 = 725$$
2. 2
   Вычтем стоимость подписки из стоимости покупки отдельных номеров.$$725 - 640 = 85$$

Расчёт количества пачек чая

Каждый день во время конференции расходуется 80 пакетиков чая. Конференция длится 3 дня. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

1. 1
   Найдём общее количество пакетиков чая, необходимое на три дня:$$80 \cdot 3 = 240$$
2. 2
   Определим количество пачек. Двух пачек хватит только на 200 пакетиков, поэтому необходимо взять три пачки.$$\left\lceil \dfrac{240}{100} \right\rceil = 3$$

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Галя, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Галя живёт в квартире № 82. В каком подъезде живёт Галя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 4 = 36$$
2. 2
   Первые два подъезда содержат $36 \cdot 2 = 72$ квартиры. Квартира № 82 находится после квартиры № 72, но не превышает номер 108, поэтому она расположена в третьем подъезде.$$72 < 82 \leqslant 108$$

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию ученик набрал 40 очков:$$5x-12y=40$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x=8+\frac{12}{5}y$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\mathrm{м/с^2}$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\mathrm{с^{-1}}$), а $R$ — радиус…

1. 1
   Подставим данные в формулу ускорения:$$a = \omega^2 R = 16^2 \cdot 0{,}5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$a = 256 \cdot 0{,}5 = 128$$

Преобразование выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{44}-\sqrt{11})\cdot\sqrt{11}$.

1. 1
   Раскроем скобки и перемножим корни:$$\sqrt{44}\cdot\sqrt{11}-\sqrt{11}\cdot\sqrt{11}=\sqrt{484}-11$$
2. 2
   Вычислим значение полученного выражения:$$22-11=11$$

Пакетики лимонной кислоты

Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 18 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продаётся в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пакетиков лимонной кислоты нужно хозяйке…

1. 1
   Найдём массу лимонной кислоты, необходимую для 6 литров маринада.$$18 \cdot 6 = 108\ \text{г}$$
2. 2
   Каждый пакетик содержит 10 г кислоты, поэтому вычислим необходимое число пакетиков.$$108 : 10 = 10{,}8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на розлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   При увеличении объёма бутылки с 1 до 2 литров цена увеличивается на стоимость одного литра кваса.$$110 - 70 = 40$$
2. 2
   Стоимость трёхлитровой бутылки найдём, добавив к цене однолитровой бутылки стоимость ещё двух литров кваса.$$70 + 2 \cdot 40 = 150$$

Автобусы для перевозки детей

В летнем лагере 172 ребёнка и 22 воспитателя. В одном автобусе можно перевозить не больше 30 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти:$$172 + 22 = 194$$
2. 2
   Разделим количество пассажиров на вместимость одного автобуса:$$194 : 30 = 6\text{ (остаток }14\text{)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Работа электрического тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = \dfrac{U^2t}{R}$, где $U$ — напряжение (в вольтах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения напряжения, времени и сопротивления в формулу работы тока.$$A = \dfrac{7^2 \cdot 18}{14}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = \dfrac{49 \cdot 18}{14} = 63$$

Расчёт мощности тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 12$…

1. 1
   Подставим в формулу $P = I^2R$ значения $I = 3{,}5$ и $R = 12$.$$P = 3{,}5^2 \cdot 12$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 12{,}25 \cdot 12 = 147$$

Найти загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 6 и меньшие 10, каждое из них принимает одно из значений $7$, $8$ или $9$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=186$$

Ещё 3 шага — в полном решении